اتوکوواریانس

اتوکوواریانس یا خودهم‌وردایی فرایند تصادفی حقیقی${\displaystyle X(t)}$٬ به صورت کوواریانس متغیر تصادفی با انتقال زمانی یافته‌ی همان متغیر تعریف می‌شود.اتوکوواریانس را می‌توان معیاری از میزان شباهت سیگنال با انتقال‌یافته‌ی خودش دانست. اگر میانگین فرایند ٬برابر ${\displaystyle E[X_{t}]=\mu _{t}}$ باشد آن‌گاه اتوکوواریانس می‌شود:

${\displaystyle C_{XX}(t,s)=E[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]=E[X_{t}X_{s}]-\mu _{t}\mu _{s}.\,}$

که در آن ${\displaystyle E}$ عملگر امید ریاضیست.

اگر فرایند ایستا باشد٬آن‌گاه برای همه‌ی مقادیر ${\displaystyle t}$ و ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}=\mu \,}$

و

${\displaystyle C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )\,}$

که در آن ${\displaystyle \tau =s-t\,}$ مقدار زمانی است که سیگنال شیفت داده‌شده‌است.در نتیجه اتوکواریانس می‌شود:

${\displaystyle C_{XX}(\tau )=E[(X(t)-\mu )(X(t+\tau )-\mu )]\,}$

${\displaystyle =E[X(t)X(t+\tau )]-\mu ^{2}\,}$

${\displaystyle =R_{XX}(\tau )-\mu ^{2},\,}$

که ٬از دیدگاه پردازش سیگنال ٬ ${\displaystyle R_{XX}}$ همان خودهمبستگی است.

با تقسیم اتوکواریانس بر واریانس ٬ ضریب خودهمبستگی به دست می‌آید:

${\displaystyle c_{XX}(\tau )={\frac {C_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}.\,}$^[۱]

• خودهمبستگی