ایده‌آل اول

در جبر، یک ایده‌آل اول زیر مجموعه ای از یک حلقه است که در خواص مهمی با اعداد اول در حلقه اعداد صحیح مشترک است.^[۱][۲] ایده‌آل‌های اول برای اعداد صحیح مجموعه‌هایی هستند که شامل تمام ضرایب یک عدد اول اند. ایده‌آل صفر نیز در اعداد صحیح یک ایده‌آل اول است.

ایده‌آل‌های ابتدایی (به انگلیسی: Primitive Ideals) نیز اول‌اند. همچنین ایده‌آل‌های اول، هم اولیه (به انگلیسی: Primary) هستند هم نیم-اول (به انگلیسی: Semiprime).

یک ایده‌آل ${\displaystyle P}$ از حلقه جابجایی ${\displaystyle R}$ اول است اگر دارای این دو خاصیت باشد:

• اگر ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ دو عضو ${\displaystyle R}$ باشند به گونه ای که ${\displaystyle ab}$ عضوی از ${\displaystyle P}$ باشد، آنگاه حداقل یکی از ${\displaystyle a}$ یا ${\displaystyle b}$ در ${\displaystyle P}$ قرار دارند.
• ${\displaystyle P}$ برابر کل حلقه ${\displaystyle R}$ نیست.

این مفهوم تعمیم دهندهٔ این خاصیت از اعداد اول است: اگر ${\displaystyle p}$ یک عدد اول باشد و ${\displaystyle p}$ حاصلضرب دو عدد صحیح ${\displaystyle ab}$ را بشمارد، آنگاه یا ${\displaystyle p}$ عدد ${\displaystyle a}$ را می‌شمارد یا ${\displaystyle b}$ را؛ لذا می‌توان گفت:

یک عدد صحیح ${\displaystyle n}$ اول است اگر و تنها اگر ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ایده‌آل اولی در ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ باشد.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime Ideal». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.