تابع همگن

تابع ${\displaystyle f(x,y)}$ را همگن از درجه ${\displaystyle n}$ می‌گوییم هرگاه به ازای هر عدد حقیقی ${\displaystyle \lambda }$ داشته باشیم:

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}f(x,y)}$

طبق قضیه اویلر هرگاه تابع ${\displaystyle f(x,y,z)}$ همگن از درجه ${\displaystyle n}$ و دارای مشتق در مرتبه اول باشد، آنگاه داریم:

${\displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}+z{\frac {\partial f}{\partial z}}=nf(x,y,z)}$

این قضیه همچنین قابل تعمیم به توابع همگن ${\displaystyle m}$ متغیره است.