تار (ریاضیات)

فرض کنید که f: X → Y یک نگاشت باشد. تار یک عنصر ${\displaystyle y\in Y}$ که معمولاً توسط ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ نشان داده می‌شود، به صورت $${\displaystyle f^{-1}(y):=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$ تعریف می‌شود؛ یعنی، تار y تحت f برابر مجموعه عناصر در دامنه f است که به y نگاشت داده شده‌است.

تصویر وارون یا پیش‌تصویر ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ مفهوم تار را به زیرمجموعه‌های ${\displaystyle A\subseteq Y}$ از هم‌دامنه تعمیم می‌دهد. نمادگذاری ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ هنوز به تار ارجاع دارد، زیرا تار یک عنصر y برابر پیش‌تصویر مجموعه تک‌عضوی ${\displaystyle \{y\}}$ است، یعنی ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$. این موضوع به این معنی است که، «تار» را می‌توان یک تابع از هم‌دامنه به مجموعه توانی دامنه در نظر گرفت: ${\displaystyle f^{-1}:Y\to {\mathcal {P}}(X)}$ درحالیکه پیش‌تصویر این موضوع را به یک تابع بین مجموعه‌های توانی تعمیم می‌دهد: ${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$.

اگر f به اعداد حقیقی نگاشت داشته باشد، در اینصورت ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ یک عدد ساده است، و آنوقت تار ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ یک مجموعه تراز از y تحت f نامیده می‌شود: ${\displaystyle L_{y}(f)}$. اگر f یک تابع پیوسته باشد و y در تصویر f باشد، آنوقت مجموعه تراز y تحت f در ۲بعد یک منحنی است، و در ۳بعد یک رویه است، و به صورت کلی‌تر ابررویه‌ای از بعد d − 1 است.

در هندسه جبری، اگر f: X → Y یک ریخت از اسکیم‌ها باشد، تار یک نقطه p در Y برابر ضرب تاری از اسکیم‌ها است

${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$

که در آن ${\displaystyle k(p)}$ برابر میدان باقیمانده در p است.