تبدیل وایرشتراس

در ریاضیات تبدیل وایرشتراس یک تابع $f : R \to R$ که بعد از کارل وایرشتراس نامگذاری شده عبارت است از نسخه روان شده تابع $f (x)$ بدست آمده از مقادیر میانگین $f$ و با xهای وزن‌دار شده توسط تابع گوسی در مرکز.

The graph of a function f(x) (gray) and its generalized Weierstrass transforms for t = 0.2 (red), t = 1 (green) and t = 3 (blue). The standard Weierstrass transform $F (x)$ is given by the case t = 1, the green graph.

به‌صورت ویژه تابع $F$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,

کانولوشن تابع $f$ با تابع گاوسی

{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Weierstrass transform». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ اوت ۲۰۰۸.