توسیع الکساندرف

فرض کنیم P مجموعه‌ای نا تهی است. یک ترکیب یا ترتیب جزئی روی P رابطه‌ای دوتایی چون ≥ است به‌طوری که هر سه عضو از P مثل x,y،z دارای سه خاصیت:

بازتابی:(x≤x)

و پاد تقارنی: اگر x≤y و y≤x باید: x=y.

و تعدی: اگر x≤y , y≤z باید: x≤z.

مجموعه P را همراه با رابطهٔ ترتیب جزئی ≥ را مجموعه مرتب جزئی یا مجموعه مرتب گوییم و با نماد (≥,P) یا اگر امکان اشتباه نباشد با P نشان می‌دهیم. برای هر زیرمجموعه Q از P و هر عضو xϵP تعریف می‌کنیم:

{Q:={yϵP: (ƎxϵQ) y≤x↓
,{Q:={yϵP: (ƎxϵQ) x≤y↑
,{x:={yϵP: y≤x↓
,{x:={yϵP: x≤y↑

یک مشبکه عبارت است از مجموعه مرتب جزئی A به‌طوریکه هر زیرمجموعه دو عضوی {a,b} از آن دارای کوچکترین کران بالا و بزرگترین کران پایین باشد که به ترتیب آن‌ها را با aᴠb و aᴧb نشان می‌دهیم و می گوییم (A,ᴠ،ᴧ) یک مشبکه است.

هرگاه(L,ᴠ،ᴧ)یک مشبکه باشد به‌طوریکه هر زیرمجموعه دلخواه (نه لزوماً دو عضوی یا نامتناهی) L دارای کوچکترین کران بالا یا بزرگترین کران پایین باشد آنگاه می گوییم مشبکه L کامل است.

هر فضای توپولوژیک (x,T) در اصل T₀ صدق می‌کند اگرو تنها اگر نگاشت:(ξ₀: X→ΣO(x که برای هر xϵX و (UϵO(x با تعریف:

ξ0(U)=1↔xϵX

یک به یک باشد.

مشبکه کامل و کراندار L را فریم می‌گوییم هرگاه قانون توزیع‌پذیری زیر در L برقرار باشد برای هر عضو aϵL و برای هر S زیر مجموعه L داشته باشیم:

aᴧᴠS=ᴠ(aᴧS).1 اگر این شرایط را با aᴠᴧS=ᴧ(aᴠS).1 جایگزین کنیم در این صورت مشبکه کامل و کراندار L را هم فریم می گوییم.

برای هر فضای توپولوژیک X, مشبکه (O(x یک فریم است.

اگر (≥,A) یک مجموعه مرتب جزئی باشد آنگاه A را می‌توان به عنوان یک رسته در نظر گرفت که در آن اشیا مجموعه A و برای a,bϵA اگر a≤b ریخت از a به b را مجموعه تک نقطه‌ای و در غیر این صورت مجموعه تهی در نظر می‌گیریم.

فرض می‌کنیم (≥,P) مجموعه‌ای مرتب جزئی و Q زیرمجموعه P است.

1. Q را مجموعه پایینی می گوییم اگر برای هر xϵQ و yϵP که y≤x و yϵQ
2. Q را مجموعه بالایی می گوییم اگر برای هر xϵQ و yϵP که x≤y و yϵQ

فرض کنید (≥,P)مجموعه مرتب جزئی است در این صورت متمم هر مجموعه بالایی یک مجموعه پایینی است.

فرض کنیم (≥,X) مجموعه مرتب جزئی است. در این صورت (D(X یک توپولوژی روی X است.

فرض کنیم (X,T)فضای توپولوژیک است به‌طوریکه اشتراک هر خانواده از مجموعه‌های باز آن، باز است. در این صورت به (X,T) فضای توپولوژیک الکساندروف می گوییم. به عبارت دیگر این فضا دارای پایدی یکتای مینیمال است یعنی برای هر xϵX همسایگی(V(x موجود است که (V(x برابر با اشتراک همهٔ مجموعه‌های باز شامل x است.

فرض کنیم (X,T) فضای توپولوژیک است، در این صورت فضای توپولوژیک ((X,D(X) الکساندروف است و در اصل T₀ صدق می‌کند.

مجموعه‌های باز در ((X,D(X) دقیقاً مجموعه‌های بسته در ((X,U(X) هستند.

توجه می‌کنیم که به (D(X توپولوژی الکساندروف پایینی و به (U(X توپولوژی الکساندروف بالایی می گوییم.

به فضای توپولوژیک (X,T) که الکساندروف است و در اصل در T₀ صدق می‌کند فضای توپولوژیک شبه گسسته می گوییم.

فرض کنیم (≥,X)مجموعه مرتب جزئی است. در این صورت (D(X به همراه اجتماع و اشتراک مشبکه‌ای کامل است.

فرض کنیم (≥,X) مجموعه مرتب جزئی است در این صورت مشبکه(D(X به‌طور کامل در قوانین توزیع پذیری صدق می‌کند و به خصوص(D(X یک فریم است. به‌طور مشابه می‌توان نشان داد مشبکه کامل(D(X هم یک فریم است.