ترابرد نوترون

ترابرد نوترون (که با عنوان نوترونیک نیز شناخته می‌شود) حرکت نوترون‌های آزاد در ناحیه‌ای از فضا با در نظر گرفتن برهم‌کنش‌های نوترون‌ها با ماده در آن ناحیه است. در بررسی ترابرد نوترون توسط فیزیکدانان رآکتور، مهندسان راکتور یا مهندسان هسته‌ای، محاسبه و اندازه‌گیری می‌شود که نوترون‌ها در کجای این ناحیه و به چه تعدادی قرار دارند، در چه جهتی حرکت می‌کنند، سرعتشان چقدر است و چه تعداد از آن‌ها از این ناحیه خارج می‌شوند. هدف این است که با استفاده از شارهای زاویه‌ای نوترون که به کمک محاسبات ترابرد تعیین شده‌اند، نرخ‌های واکنش هسته‌ای محاسبه شوند. نرخ واکنش عبارت است از حاصل تقسیمِ تعداد واکنش‌های یک نوع مشخص (مانند شکافت‌های هسته‌ای) که در آن ناحیه فضایی رخ می‌دهند، بر بازه زمانی‌ای که این واکنش‌ها در آن شمارش می‌شوند.^[۱]

روش‌های مبتنی بر نظریه ترابرد نوترون به‌منظور طراحی راکتورهای هسته‌ای و همچنین برای تحلیل و پایش رفتار عملیاتی آن‌ها به‌کار می‌روند. این امر در مورد آزمون‌های رآکتوری یا باریکه‌های نوترونی با کاربرد صنعتی نیز مصداق دارد. ترابرد نوترون مشابه ترابرد تابش است، اما به‌دلیل تعدد برهم‌کنش‌های ممکن، به‌مراتب پیچیده‌تر است. برخی از کدهای ترابرد نوترون، امکان محاسبهٔ ترابرد تابش، به‌ویژه برای تابش گاما، را نیز فراهم می‌کنند، در حالی‌که برخی دیگر منحصراً برای محاسبهٔ ترابرد تابش توسعه یافته‌اند (به عنوان مثال کدهای RAPTOR-M3G, MCBEND, RMC، که در ادامه به آن‌ها اشاره خواهد شد).

نگاره‌ها، بازنمایی‌های سه‌بعدیِ پروجکتیو از نتایج یک محاسبهٔ دوبعدی ترابرد نوترون را نشان می‌دهند که (با تفکیک‌پذیری انرژی بالا با ۱۹۰ گروه انرژی) شارهای زاویه‌ای نوترون را به دست داده است. این شارها سپس به‌صورت شارهای نوترون در دو گروه انرژی تجمیع شده‌اند. این مسئله مربوط به یک محاسبهٔ ترابرد دو بعدی برای یک‌چهارم یک مجتمع سوخت^[a] از یک رآکتور آب فشرده با میله‌های کنترل بیرون‌کشیده‌شده است. شبکه گسسته‌سازی که مبنای این محاسبه قرار گرفته، در پایین، شار نوترون‌های حرارتی در وسط و شار نوترون‌های سریع در بالا نشان داده شده‌اند. شار نوترون هر دو گروه انرژی به وضوح وابستگی مکانی شدیدی را نشان می‌دهد. مقادیر عددی روی نوارهای رنگی، بیانگر حداقل و حداکثر شار نوترون در واحد "نوترون بر سانتی‌متر مربع بر ثانیه" هستند.

پیش‌زمینه

ترابرد نوترون ریشه در معادله بولتزمن دارد؛ معادله‌ای که در سدهٔ نوزدهم برای مطالعهٔ نظریهٔ جنبشی گازها به‌کار گرفته شد. این نظریه تا زمان اختراع راکتورهای هسته‌ای زنجیره‌ای در دههٔ ۱۹۴۰ میلادی توسعهٔ گسترده‌ای پیدا نکرد. با بررسی دقیق‌تر توزیع نوترون‌ها، تقریب‌های ظریف و راه‌حل‌های تحلیلی در هندسه‌های ساده به‌دست آمد. با این حال، با افزایش توان محاسباتی رایانه‌ها، روش‌های عددی برای حل معادلهٔ ترابرد نوترون فراگیر شدند. امروزه، با وجود رایانه‌های موازی انبوه، ترابرد نوترون همچنان در دانشگاه‌ها و مؤسسات تحقیقاتی سراسر جهان به‌طور بسیار فعال در حال توسعه است. این مسئله هنوز از دیدگاه محاسباتی چالش‌برانگیز به شمار می‌آید، زیرا به زمان و سه بُعد فضایی وابسته است و متغیرهای انرژی آن چندین مرتبهٔ بزرگی را در بر می‌گیرند (از کسری از meV تا چند MeV). راه‌حل‌های نوین معمولاً از روش جهت‌های گسسته یا روش مونت کارلو، و گاهی ترکیبی از هر دو استفاده می‌کنند.

معادله ترابرد نوترون

معادله ترابرد نوترون یک بیان موازنه است که نوترون‌ها را پایسته نگه می‌دارد. هر جمله در این معادله نشان‌دهندهٔ افزایش یا کاهش نوترون‌ها است و در اصل بیان می‌دارد که تعداد نوترون‌های به‌دست‌آمده برابر با تعداد نوترون‌های از‌دست‌رفته است. این معادله به‌صورت زیر فرمول‌بندی می‌شود:^[۲]^[۳]

\left({\frac {1}{v(E)}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {\hat {\Omega }} \cdot \nabla +\Sigma _{t}(\mathbf {r} ,E,t)\right)\psi (\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)=\quad

$\quad {\frac {\chi _{p}\left({\mathbf {r}},E\right)}{4\pi }}\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\nu _{p}\left({\mathbf {r}},E^{\prime }\right)\Sigma _{f}\left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)\phi \left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)$

\quad +\sum _{i=1}^{N}{\frac {\chi _{di}\left({\mathbf {r}},E\right)}{4\pi }}\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)\quad

\quad +\int _{4\pi }\mathrm {d} \Omega ^{\prime }\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\,\Sigma _{s}\!\!\left(\mathbf {r} ,E^{\prime }\rightarrow E,\mathbf {\hat {\Omega }} ^{\prime }\rightarrow \mathbf {\hat {\Omega }} ,t\right)\psi (\mathbf {r} ,E^{\prime },\mathbf {{\hat {\Omega }}^{\prime }} ,t)

\quad +s(\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)

که در آن، معادلهٔ نیاهسته‌های^[b] نوترون‌های تأخیری به‌صورت زیر است:^[۳]

${\frac {\partial C_{i}}{\partial t}}({\mathbf {r}},t)dt={\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})\int _{0}^{\infty }dE\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)-\lambda _{i}({\mathbf {r}})C_{i}({\mathbf {r}},t),$

$\quad i=1,...,N$

همه نمادها به شرح زیر هستند:

نماد	معنی	توضیحات
$\mathbf {r}$	بردار موقعیت (یعنی $x,y,z$ )
$E$	انرژی
$\mathbf {\hat {\Omega }} ={\frac {\mathbf {v} (E)}{\|\mathbf {v} (E)\|}}={\frac {\mathbf {v} (E)}{v(E)}}$	بردار یکه (زاویه فضایی) در جهت حرکت
$t$	زمان
$\mathbf {v} (E)$	بردار سرعت نوترون
$\psi (\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \!E\,\mathrm {d} \Omega$	شار زاویه‌ای نوترون مقدار طول مسیر پیموده شده توسط نوترون در یک حجم دیفرانسیلی $\mathrm {d} r$ حول $r$ ، مرتبط با ذراتی با انرژی دیفرانسیلی در $\mathrm {d} E$ حول $E$ ، که در یک زاویه فضایی دیفرانسیلی در $\mathrm {d} \Omega$ حول $\mathbf {\hat {\Omega }}$ در زمان $t$ حرکت می‌کنند.‏	توجه: انتگرال‌گیری بر روی تمام زوایا، شار نرده‌ای نوترون را به دست می‌دهد.‏ $\phi \ =\ \int _{4\pi }\mathrm {d} \Omega \psi$
$\phi (\mathbf {r} ,E,t)\mathrm {d} r\,\mathrm {d} E$	شار اسکالر (نرده‌ای) نوترون مقدار طول مسیر پیموده شده توسط نوترون در یک حجم دیفرانسیلی $\mathrm {d} r$ حول $r$ ، مرتبط با ذراتی با انرژی دیفرانسیلی در $\mathrm {d} E$ حول $E$ ، در زمان $t$ می‌باشد.‏
$\nu _{p}({\mathbf {r}},E)$	میانگین تعداد نوترون‌های تولید شده به ازای هر شکافت در نقطه $r$ با انرژی $E$ ، شامل نوترون‌های آنی و تأخیری. به‌عنوان مثال، این مقدار برای نوترون‌های حرارتی ( $0.0253{\text{ eV}}$ ) در ${\text{U-235}}$ در دمای $293$ کلوین، برابر با $2.43$ است.^[۴]‏
$\chi _{p}(E)$	تابع چگالی احتمال برای نوترون‌هایی با انرژی خروجی $E$ از میان تمام نوترون‌های تولید شده توسط شکافت
$\chi _{di}(E)$	تابع چگالی احتمال برای نوترون‌هایی با انرژی خروجی $E$ از میان تمام نوترون‌های تولید شده توسط نیاهسته‌های نوترون تأخیری
$\Sigma _{t}(\mathbf {r} ,E,t)$	سطح مقطع ماکروسکوپی کل، که شامل تمامی برهم‌کنش‌های ممکن است.‏
$\Sigma _{f}(\mathbf {r} ,E^{\prime },t)$	سطح مقطع ماکروسکوپی شکافت، که شامل تمام برهم‌کنش‌های شکافت در $\mathrm {d} E^{\prime }$ حول $E^{\prime }$ است.‏
$\Sigma _{s}\!\!\left(\mathbf {r} ,E'\rightarrow E,\mathbf {\hat {\Omega }} '\rightarrow \mathbf {\hat {\Omega }} ,t\right)\mathrm {d} E^{\prime }\mathrm {d} \Omega ^{\prime }$	سطح مقطع پراکندگی دیفرانسیل دوگانه پراکندگی یک نوترون از انرژی فرودی $E^{\prime }$ در $\mathrm {d} E^{\prime }$ و جهت $\mathbf {{\hat {\Omega }}^{\prime }}$ در $\mathrm {d} \Omega ^{\prime }$ به یک انرژی نهایی $E$ و جهت $\mathbf {\hat {\Omega }}$ را مشخص می‌کند.‏
$N$	تعداد گروه‌های نیاهسته‌های نوترون تأخیری
$\lambda _{i}$	ثابت واپاشی برای نیاهسته‌ی گروه $i$ ‏
$C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)$	تعداد کل نیاهسته‌های گروه $i$ در نقطه $\mathbf {r}$ در زمان $t$ ‏
$s(\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)$	جمله چشمه
${\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})$	میانگین وزنی نوترون‌های تأخیری:‏ ${\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})={\frac {\int _{0}^{\infty }\beta _{i}({\mathbf {r}},E)\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E)\phi ({\mathbf {r}},E)dE}{\int _{0}^{\infty }\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E)\phi ({\mathbf {r}},E)dE}}$ که در آن $\beta _{i}({\mathbf {r}},E)$ کسر نوترون‌های تأخیری گسیل‌شده در نقطه $\mathbf {r}$ توسط نیاهسته‌های متعلق به گروه $i$ است که توسط نوترون‌های با انرژی $E$ تولید شده‌اند.‏
${\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})$	$\sum _{i=1}^{N}{\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})$

سمت چپ معادله، تلفات نوترون و سمت راست آن، افزایش (تولید) نوترون را توصیف می‌کند. جمله اول در سمت چپ معادله، نمایانگر نرخ تغییرات زمانی نوترون‌ها در ناحیه فضایی است. جمله دوم، تلفات نوترون‌ها در ناحیه فضایی ناشی از حرکت آزاد (نشت) را توصیف می‌کند. جمله سوم، تمام نوترون‌هایی را در نظر می‌گیرد که در این فضای فاز برخورد کرده و جذب می‌شوند. جمله اول در سمت راست معادله، تولید نوترون‌ها در فضای فاز بر اثر شکافت را بیان می‌کند. جمله دوم در سمت راست، تولید نوترون‌ها ناشی از نوترون‌های تأخیری (توسط هسته‌های ناپایدار و محصولات شکافت که نوترون گسیل می‌کنند) را لحاظ می‌کند. جمله سوم در سمت راست، جمله پراکندگی (پراکندگی ورودی) است و نوترون‌هایی را در نظر می‌گیرد که در پی برهم‌کنش‌های پراکندگی، از ناحیه‌ای دیگر به این ناحیه از فضای فاز پراکنده می‌شوند. جملهٔ چهارم در سمت راست، چشمهٔ کلی است.

حل این معادله، کمیت شار زاویه‌ای نوترون $\psi (\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)$ را به‌دست می‌دهد که با استفاده از آن می‌توان تمام نرخ‌های واکنش در این ناحیه فضایی را محاسبه کرد؛ از جمله مواردی که برای ایمنی راکتور و همچنین اهداف حفاظ‌سازی (شیلدینگ) و دزیمتری اهمیت دارند.

معادله ترابرد اغلب تنها برای بخش خاصی از فضای فاز (مکان $\mathbf {r}$ ، انرژی $E$ ، جهت حرکت $\mathbf {\hat {\Omega }}$ در زمان $t$ ) یا برای زیربخش‌هایی از فضای فیزیکی حل می‌شود. برای مثال، در تصویر ابتدایی بالا، نتایج محاسبات ترابردِ شار نوترون تنها برای یک مجتمع سوخت نمایش داده شده است. این رویکرد در حال حاضر همچنان متداول است، زیرا انجام محاسبات ترابرد نوترون برای یک راکتور هسته‌ای به صورت یکپارچه و کامل (که متشکل از تعداد زیادی مجتمع سوخت و اجزای دیگر است)، فراتر از توان پردازشی ابررایانه‌های موجود می‌باشد.^[c]

بنابراین، یک توالی مرحله‌بندی شده و نسبتاً پیچیده از روش‌های تقریبی به کار گرفته می‌شود که در رأس آن‌ها همواره محاسبات ترابرد برای نواحی جزئی راکتور هسته‌ای قرار دارد. شرح کامل این روش‌ها، خود حجم چندین کتاب راهنما را پر می‌کند.^[۵]^[۶]^[۷]

معادله پخش نوترون

در فیزیک راکتور هسته‌ای، هنگام انجام محاسبات سه‌بعدی قلب راکتور، معادلهٔ ترابرد نوترون اغلب با معادلهٔ پخش نوترون تقریب زده می‌شود. این معادله از معادلهٔ ترابرد نوترون با بسطِ شار زاویه‌ای نوترون برحسب هماهنگ‌های کروی و با مفروضات زیر به دست می‌آید:

چندجمله‌ای‌های لژاندر به عنوان توابعی از جهت نوترون ${\mathbf {\hat {\Omega }}}$ دارای مرتبه‌ای کمتر یا مساوی ۱ هستند،
چشمه نوترون همسانگرد (ایزوتروپیک) است،
آهنگ تغییر بردار چگالی جریان ${\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E,t)$ بسیار کوچک‌تر از بسامد برخورد است،
و رابطه زیر برقرار است:

\int _{0}^{\infty }\Sigma _{s1}({\mathbf {r}},E'\to E,t){\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E',t)dE'=\int _{0}^{\infty }\Sigma _{s1}({\mathbf {r}},E\to E',t){\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E,t)dE'

که در آن $\Sigma _{sl}({\mathbf {r}},E'\to E,t)$ ضریب بسط چندجمله‌ای لژاندر از مرتبه $l$ برای سطح مقطع پراکندگی ماکروسکوپی است.^[۳]^[۸]

علاوه بر این، با فرض مستقل بودن سرعت نوترون از انرژی، معادلهٔ پخش نوترون تک‌سرعتی به‌صورت زیر خواهد بود:^[۳]^[۸]

{\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi ({\mathbf {r}},E,t)={\mathbf {\nabla }}\cdot D({\mathbf {r}},E){\mathbf {\nabla }}\phi ({\mathbf {r}},E,t)-\Sigma _{t}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)+\int _{0}^{\infty }dE'\Sigma _{s0}({\mathbf {r}},E'\to E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)

\qquad +\chi _{p}\left({\mathbf {r}},E\right)\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\nu _{p}\left({\mathbf {r}},E^{\prime }\right)\Sigma _{f}\left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)\phi \left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)+\sum _{i=1}^{N}\chi _{di}\left({\mathbf {r}},E\right)\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)+s(\mathbf {r} ,E,t)

که در آن $D({\mathbf {r}},E)$ ضریب پخش است. معادله مربوط به نیاهسته‌های نوترون‌های تأخیری و سایر نمادها پیش‌تر تعریف شده‌اند.

معادله پخش چندگروهی را می‌توان با گسسته‌سازی دامنه انرژی نوترون به دست آورد:^[۳]^[۸]

{\frac {1}{v_{g}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {\nabla }}\cdot D_{g}({\mathbf {r}}){\mathbf {\nabla }}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)-\Sigma _{t,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)+\sum _{g'=1}^{G}\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)

\qquad +\chi _{p,g}\left({\mathbf {r}}\right)\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\sum _{g'=1}^{G}\left(\nu \Sigma \right){f,g'}\left(\mathbf {r} ,t\right)\phi {g'}\left(\mathbf {r} ,t\right)\sum _{i=1}^{N}\chi _{di,g}\left({\mathbf {r}}\right)\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)+s_{g}(\mathbf {r} ,t)

که در آن:

\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\phi ({\mathbf {r}},E,t)

{\frac {1}{v_{g}}}={\frac {1}{\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}}\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE{\frac {\phi ({\mathbf {r}},E,t)}{v(E)}}

{\mathbf {\nabla }}\cdot D_{g}({\mathbf {r}}){\mathbf {\nabla }}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE{\mathbf {\nabla }}\cdot D({\mathbf {r}},E){\mathbf {\nabla }}\phi ({\mathbf {r}},E,t)

\Sigma _{t,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\Sigma _{t}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)

\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)

\chi _{p,g}({\mathbf {r}})=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\chi _{p}({\mathbf {r}},E)

\left(\nu \Sigma \right)_{f,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\nu ({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)

\chi _{di,g}({\mathbf {r}})=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\chi _{di}({\mathbf {r}},E)

$G$ تعداد گروه‌های انرژی و $E_{g}$ مرز انرژیِ گروه $g$ است. ترتیب گروه‌های انرژی به‌گونه‌ای است که $E_{g}<E_{g-1}$ .

انواع محاسبات ترابرد نوترون

چند نوع اصلی از مسائل ترابرد نوترون وجود دارد که بسته به نوع مسئله‌ای که باید حل شود، دسته‌بندی می‌شوند.

چشمه ثابت

محاسبه چشمه ثابت شامل اعمال یک چشمه نوترون مشخص بر یک محیط و تعیین توزیع نوترون حاصل در کل مسئله است. این نوع مسئله به‌ویژه در محاسبات حفاظ‌سازی کاربرد دارد، جایی که طراح می‌خواهد دُز نوترون را در خارج از حفاظ به حداقل برساند و هم‌زمان از کمترین مقدار ماده محافظ استفاده نماید. به‌عنوان نمونه، یک محفظهٔ سوخت مصرف‌شده نیازمند محاسبات حفاظ‌سازی است تا مشخص شود چه مقدار بتن و فولاد برای محافظت ایمن از راننده کامیونی که آن را جابه‌جا می‌کند، مورد نیاز است.

بحرانیت

شکافت هسته‌ای فرآیندی است که طی آن یک هسته به اتم‌های کوچکتر (معمولاً دو اتم) شکافته می‌شود. هنگامی که شکافت رخ می‌دهد، اغلب دانستن رفتار مجانبی سامانه مورد توجه است. یک راکتور در صورتی «بحرانی» نامیده می‌شود که واکنش زنجیره‌ای، خودپایدار و مستقل از زمان باشد. اگر سامانه در حالت پایا نباشد، توزیع مجانبی نوترون یا همان مُد اصلی با گذشت زمان به‌صورت نمایی، رشد کرده یا زوال می‌یابد.

محاسبات بحرانیت برای تحلیل محیط‌های تکثیرکننده در حالت پایا (محیط‌هایی که می‌توانند دستخوش شکافت شوند)، مانند یک راکتور هسته‌ای بحرانی، به‌کار می‌روند. در این حالت، جملات اتلاف (جذب، پراکندگی به بیرون و نشت) و جملات چشمه (پراکندگی به درون و شکافت) متناسب با شار نوترون هستند، برخلاف مسائل چشمه ثابت که در آن‌ها چشمه مستقل از شار است. در محاسبات بحرانیت، فرض عدم تغییر با زمان ایجاب می‌کند که تولید نوترون دقیقاً برابر با اتلاف نوترون باشد.

از آنجا که دست‌یابی به این حالت بحرانی تنها با دستکاری‌های بسیار دقیق هندسه (معمولاً از طریق میله‌های کنترل در یک رآکتور) امکان‌پذیر است، بعید به‌نظر می‌رسد که هندسهٔ مدل‌شده واقعاً بحرانی باشد. برای ایجاد انعطاف در مدل‌سازی، این مسائل به‌صورت مسائل ویژه مقدار فرمول‌بندی می‌شوند، به‌طوری که یک پارامتر به‌صورت مصنوعی تغییر داده می‌شود تا در نهایت بحرانیت به‌دست آید. رایج‌ترین فرمول‌بندی‌ها، ویژه مقدارهای جذب-زمان و تکثیر هستند که به ترتیب به‌عنوان ویژه مقدار alpha و k نیز شناخته می‌شوند. alpha و k کمیت‌های قابل تنظیم هستند.

مسائل ویژه مقدار k در تحلیل راکتورهای هسته‌ای متداول‌تر هستند. در این روش، تعداد نوترون‌های تولید شده در هر شکافت، توسط ویژه مقدار غالب به‌صورت ضریبی اصلاح می‌شود. مقدار حاصل از این ویژه مقدار، بازتاب‌دهندهٔ وابستگی زمانی چگالی نوترون در یک محیط تکثیرکننده است.

k_eff < 1، زیربحرانی: چگالی نوترون با گذشت زمان کاهش می‌یابد؛
k_eff = 1، بحرانی: چگالی نوترون بدون تغییر باقی می‌ماند؛ و
k_eff > 1، فوق‌بحرانی: چگالی نوترون با زمان در حال افزایش است.

در یک راکتور هسته‌ای، شار نوترون و چگالی توان با یکدیگر متناسب هستند، از این رو در مرحلهٔ راه‌اندازی راکتور k_eff > 1، در طول بهره‌برداری راکتور k_eff = 1 و هنگام خاموشی راکتور k_eff < 1 است.

روش‌های محاسباتی

هر دو نوع محاسبات چشمهٔ ثابت و بحرانیّت را می‌توان با استفاده از روش‌های قطعی یا تصادفی حل کرد. در روش‌های قطعی، معادله ترابرد (یا تقریبی از آن، مانند نظریه پخش) به‌عنوان یک معادله دیفرانسیل (جزئی) حل می‌شود. در مقابل، در روش‌های تصادفی مانند مونت کارلو، تاریخچه هر ذره به‌صورت مجزا در یک فرایند گشت تصادفی که توسط احتمالاتِ برهم‌کنشِ اندازه‌گیری‌شده هدایت می‌شود، ردیابی و میانگین‌گیری می‌شوند. روش‌های قطعی معمولاً شامل رویکردهای چندگروهی هستند، در حالی که مونت کارلو می‌تواند با کتابخانه‌های سطح مقطع چندگروهی و انرژی-پیوسته کار کند. محاسبات چندگروهی اصولا روندی تکراری دارند، زیرا ثابت‌های گروهی بر اساس پروفایل‌های شار-انرژی محاسبه می‌شوند، که این پروفایل‌ها خود در نتیجهٔ محاسبات ترابرد نوترون تعیین می‌گردند.

گسسته‌سازی در روش‌های قطعی

برای حل عددی معادله ترابرد به کمک معادلات جبری در رایانه، متغیرهای مکانی، زاویه‌ای، انرژی و زمان باید گسسته‌سازی شوند.

متغیرهای مکانی معمولاً با تقسیم ساده هندسه به نواحی کوچک متعدد بر روی یک شبکه (مش) گسسته می‌شوند. سپس می‌توان معادله موازنه را در هر نقطه از شبکه با استفاده از روش تفاضل محدود یا روش‌های نودال حل کرد.
متغیرهای زاویه‌ای می‌توانند توسط جهات گسسته و مجموعه‌های تربیع وزنی (که منجر به روش‌های S_N می‌شود)، یا از طریق روش‌های بسط تابعی با هماهنگ‌های کروی (که منجر به روش‌های P_N می‌شود) گسسته شوند.
متغیرهای انرژی معمولاً با روش چندگروهی گسسته می‌شوند، که در آن هر گروه انرژی نمایانگر یک انرژی ثابت است. برای برخی از مسائل راکتورهای حرارتی، حتی ۲ گروه انرژی نیز می‌تواند کافی باشد، اما محاسبات راکتورهای سریع ممکن است به گروه‌های بسیار بیشتری نیاز داشته باشد.
متغیر زمان نیز به گام‌های زمانی گسسته شکسته می‌شود و مشتقات زمانی با فرمول‌های تفاضلی جایگزین می‌گردند.

کدهای رایانه‌ای مورد استفاده در ترابرد نوترون

کدهای احتمالاتی

COG - یک کد مونت کارلو توسعه‌یافته در LLNL برای تحلیل ایمنی بحرانیت و ترابرد عمومی تابش (http://cog.llnl.gov)
MCBEND ^[۹] – یک کد مونت کارلو برای ترابرد عمومی تابش، توسعه‌یافته و پشتیبانی‌شده توسط ANSWERS Software Service.^[۱۰]
MCNP – یک کد مونت کارلو توسعه‌یافته در LANL برای ترابرد عمومی تابش
MC21^[۱۱] – یک کد مونت کارلو سه‌بعدی همه‌منظوره توسعه‌یافته در NNL.
MCS – کد مونت کارلو MCS از سال ۲۰۱۳ در مؤسسه ملی علوم و فناوری اولسان (UNIST)، جمهوری کره، در حال توسعه است.^[۱۲]
Mercury – یک کد ترابرد ذره مونت کارلو توسعه‌یافته در LLNL.^[۱۳]
MONK ^[۱۴] – یک کد مونت کارلو برای ایمنی بحرانیت و تحلیل‌های فیزیک راکتور، توسعه‌یافته و پشتیبانی‌شده توسط ANSWERS Software Service.^[۱۰]
MORET – کد مونت کارلو برای ارزیابی ریسک بحرانیت در تأسیسات هسته‌ای، توسعه‌یافته در IRSN، فرانسه^[۱۵]
OpenMC – یک کد مونت کارلو منبع‌باز و توسعه‌یافته توسط جامعه (community-developed) ^[۱۶]
RMC – یک کد مونت کارلو توسعه‌یافته در دپارتمان فیزیک مهندسی دانشگاه تسینگ‌هوا برای ترابرد عمومی تابش
SCONE – مخفف Stochastic Calculator Of the Neutron Transport Equation (حسابگر تصادفی معادله ترابرد نوترون)، یک کد مونت کارلو منبع‌باز توسعه‌یافته در دانشگاه کمبریج.^[۱۷]
Serpent – یک کد ترابرد ذره مونت کارلو توسعه‌یافته در مرکز تحقیقات فنی VTT فنلاند.^[۱۸]
Shift/KENO – کدهای مونت کارلو توسعه‌یافته در ORNL برای ترابرد عمومی تابش و تحلیل بحرانیت
TRIPOLI – کد ترابرد مونت کارلو سه‌بعدی همه‌منظوره انرژی-پیوسته، توسعه‌یافته در CEA، فرانسه^[۱۹]
UCN - کد ترابرد مونت کارلو برای شبیه‌سازی آزمایش‌ها با نوترون‌های فراسرد، توسعه‌یافته در PNPI، گاتچینا^[۲۰]

کدهای قطعی

Ardra – یک کد ترابرد ذره خنثی توسعه‌یافته در LLNL ^[۲۱]
Attila – یک کد ترابرد تجاری
DRAGON – یک کد منبع‌باز فیزیک شبکه (lattice physics)
PHOENIX/ANC – یک مجموعه کد اختصاصی فیزیک شبکه و پخش (diffusion) سراسری از وستینگهاوس الکتریک
PARTISN – یک کد ترابرد توسعه‌یافته در LANL مبتنی بر روش جهات گسسته^[۲۲]
NEWT – یک کد S_N دوبعدی توسعه‌یافته در ORNL ^[۲۳]
DIF3D/VARIANT – یک کد سه‌بعدی توسعه‌یافته در آزمایشگاه ملی آرگون که در اصل برای راکتورهای سریع توسعه یافته است ^[۲۴]
DENOVO – یک کد ترابرد موازی انبوه در حال توسعه توسط ORNL^[۲۳]^[۲۵]
Jaguar – یک کد ترابرد سه‌بعدی موازی مبتنی بر روش موازنه برشی (Slice Balance Approach) برای شبکه‌های پولی‌توپ (polytope) دلخواه، توسعه‌یافته در NNL^[۲۶]
DANTSYS
RAMA – یک کد سه‌بعدی اختصاصی روش مشخصه‌ها (method of characteristics) با قابلیت مدل‌سازی هندسه دلخواه، توسعه‌یافته برای EPRI توسط TransWare Enterprises Inc.^[۲۷]
RAPTOR-M3G – یک کد ترابرد تابش موازی اختصاصی توسعه‌یافته توسط شرکت وستینگهاوس الکتریک
OpenMOC – یک کد منبع‌باز موازی روش مشخصه‌ها توسعه‌یافته در MIT^[۲۸]
MPACT – یک کد سه‌بعدی موازی روش مشخصه‌ها در حال توسعه توسط آزمایشگاه ملی اوک ریج و دانشگاه میشیگان
DORT – ترابرد جهات گسسته (Discrete Ordinates Transport)
APOLLO – یک کد فیزیک شبکه مورد استفاده CEA، EDF و Areva^[۲۹]
CASMO/SIMULATE – یک مجموعه کد اختصاصی فیزیک شبکه و پخش (diffusion) توسعه‌یافته توسط Studsvik برای تحلیل LWR شامل شبکه‌های مربعی و شش‌ضلعی^[۳۰]
HELIOS – یک کد اختصاصی فیزیک شبکه با هندسه تعمیم‌یافته توسعه‌یافته توسط Studsvik برای تحلیل LWR^[۳۱]
milonga – یک کد رایگان تحلیل قلب راکتور هسته‌ای^[۳۲]
STREAM – یک کد تحلیل ترابرد نوترون، STREAM (مخفف Steady state and Transient REactor Analysis code with Method of Characteristics - کد تحلیل راکتور در حالت پایا و گذرا با روش مشخصه‌ها)، از سال ۲۰۱۳ در مؤسسه ملی علوم و فناوری اولسان (UNIST)، جمهوری کره، در حال توسعه است ^[۳۳]
TINTE – یک کد پخش (diffusion) دو گروهی برای مطالعه رفتار هسته‌ای و حرارتی راکتورهای دمای بالا، توسعه‌یافته توسط Forschungszentrum Jülich در آلمان.^[۳۴]

جستارهای وابسته

یادداشت‌ها

↑ این مجتمع سوخت متقارن است. سطح مقطع آن یک مربع بوده و توزیع مواد نیز دارای هر هشت عنصر تقارن گروه دووجهی $D_{4}$ می‌باشد. در نتیجه، دامنه بنیادی سطح مقطع یک قطاع ۴۵ درجه خواهد بود. بنابراین یک‌چهارم مجتمع سوخت (یک قطاع ۹۰ درجه) نماینده کل مجتمع سوخت نیز هست.
↑ نیاهسته‌ها (به انگلیسی: Precursors)؛ این عبارت به نوکلئیدهایی اشاره دارد که پس از شکافت هسته‌ای تشکیل شده و با واپاشی بتا، نوترون‌های تأخیری تولید می‌کنند. برابرهای فارسی دیگر: «هسته‌های پیشرو»، «پیشروها»، «مولدهای نوترون‌های تأخیری».
↑ با برنامه‌های ترابرد مونت-کارلو این امر اصولاً امکان‌پذیر است، اما حتی با این روش‌ها نیز هنوز نمی‌توان به دقت مورد نظر برای کمیت‌های فیزیکی که باید محاسبه شوند، دست یافت.

منابع

↑ Reuss, Paul (2008). Neutron physics (به انگلیسی). Les Ulis, France: EDP Sciences. pp. 25, 98.
↑ Adams, Marvin L. (2009). Introduction to Nuclear Reactor Theory. Texas A&M University.
1 2 3 4 5 Demazière, Christophe (2020). Modelling of nuclear reactor multi-physics: from local balance equations to macroscopic models in neutronics and thermal-hydraulics. London: Academic press. ISBN 978-0-12-815070-2.
↑ "ENDF Libraries".
↑ Rudi J. J. Stamm'ler؛ و دیگران (۲۰۰۳). HELIOS Methods: Version 1.8. Studsvik Scandpower. صص. ۱۹۲. محاسبات ترابرد برای مجتمع سوخت با برنامه ترابرد نوترون «HELIOS نسخه ۱.۸» انجام شد که نتایج آن در نمودار مقدماتی نشان داده شده است.
↑ Rudi J. J. Stamm'ler؛ و دیگران (۲۰۰۳). User Manual AURORA: Version 1.8. Studsvik Scandpower. صص. ۱۴۹.
↑ Rudi J. J. Stamm'ler؛ و دیگران (۲۰۰۳). User Manual ZENITH: Version 1.8. Studsvik Scandpower. صص. ۶۵.
1 2 3 Rozon, Daniel (1998). Introduction to Nuclear Reactor Kinetics. Polytechnic International Press, Editions de l'Ecole Polytechnique de Montreal. pp. 25–68. ISBN 2-553-00700-0.
↑ "MCBEND".
1 2 "ANSWERS".
↑ The MC21 Monte Carlo Transport Code (Report) (به انگلیسی). Knolls Atomic Power Lab. (KAPL), Niskayuna, NY (United States). 2007-01-09. OSTI 903083.
↑ "MCS". Archived from the original on 2018-04-09. Retrieved 2019-07-30.
↑ "Mercury".
↑ "MONK".
↑ "MORET5". Archived from the original on 2015-10-09. Retrieved 2018-11-19.
↑ "OpenMC".
↑ "SCONE". GitHub.
↑ "Serpent – A Monte Carlo Reactor Physics Burnup Calculation Code". Archived from the original on 2014-09-01. Retrieved 2013-12-03.
↑ "TRIPOLI-4". 19 October 2013.
↑ Fomin, A.K.; Serebrov, A.P. (2018). "Monte Carlo Model of the Experiment on Measuring the Neutron Lifetime". Mathematical Models and Computer Simulations. 10 (6): 741–747. Bibcode:2018MMCS...10..741F. doi:10.1134/S2070048218060066.
↑ "Ardra".
↑ "RSICC CODE PACKAGE CCC 760". rsicc.ornl.gov. Retrieved 2022-08-05.
1 2 "SCALE Overview | ORNL". www.ornl.gov. Retrieved 2022-08-05.
↑ "Software: DIF3D – Nuclear Engineering Division (Argonne)". www.ne.anl.gov. Retrieved 2022-08-05.
↑ Evans, Thomas M.; Stafford, Alissa S.; Slaybaugh, Rachel N.; Clarno, Kevin T. (2010-08-01). "Denovo: A New Three-Dimensional Parallel Discrete Ordinates Code in SCALE". Nuclear Technology. 171 (2): 171–200. Bibcode:2010NucTe.171..171E. doi:10.13182/NT171-171. ISSN 0029-5450. S2CID 93751324.
↑ Watson, A. M.; Grove, R. E.; Shearer, M. T. (2009). Effective software design for a deterministic transport system. American Nuclear Society. ISBN 978-0-89448-069-0. Retrieved 5 August 2022.
↑ "RAMA". Archived from the original on 2015-12-22. Retrieved 2014-09-04.
↑ "OpenMOC".
↑ "APOLLO3" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-12-22. Retrieved 2015-08-29.
↑ "CASMO5". Archived from the original on 2021-06-24. Retrieved 2022-04-07.
↑ "CASMO5".
↑ "Milonga".
↑ "STREAM". Archived from the original on 2018-04-09. Retrieved 2019-07-30.
↑ Gerwin, H.; Scherer, W.; Teuchert, E. (1989-11-01). "The TINTE Modular Code System for Computational Simulation of Transient Processes in the Primary Circuit of a Pebble-Bed High-Temperature Gas-Cooled Reactor". Nuclear Science and Engineering. 103 (3): 302–312. Bibcode:1989NSE...103..302G. doi:10.13182/NSE89-A23682. ISSN 0029-5639.

پیوند به بیرون

[2] این مجتمع سوخت متقارن است. سطح مقطع آن یک مربع بوده و توزیع مواد نیز دارای هر هشت عنصر تقارن گروه دووجهی $D_{4}$ می‌باشد. در نتیجه، دامنه بنیادی سطح مقطع یک قطاع ۴۵ درجه خواهد بود. بنابراین یک‌چهارم مجتمع سوخت (یک قطاع ۹۰ درجه) نماینده کل مجتمع سوخت نیز هست.

[5] نیاهسته‌ها (به انگلیسی: Precursors)؛ این عبارت به نوکلئیدهایی اشاره دارد که پس از شکافت هسته‌ای تشکیل شده و با واپاشی بتا، نوترون‌های تأخیری تولید می‌کنند. برابرهای فارسی دیگر: «هسته‌های پیشرو»، «پیشروها»، «مولدهای نوترون‌های تأخیری».

[7] با برنامه‌های ترابرد مونت-کارلو این امر اصولاً امکان‌پذیر است، اما حتی با این روش‌ها نیز هنوز نمی‌توان به دقت مورد نظر برای کمیت‌های فیزیکی که باید محاسبه شوند، دست یافت.

[1] Reuss, Paul (2008). Neutron physics (به انگلیسی). Les Ulis, France: EDP Sciences. pp. 25, 98.

[Adams-3] Adams, Marvin L. (2009). Introduction to Nuclear Reactor Theory. Texas A&M University.

[:1-4] 1 2 3 4 5 Demazière, Christophe (2020). Modelling of nuclear reactor multi-physics: from local balance equations to macroscopic models in neutronics and thermal-hydraulics. London: Academic press. ISBN 978-0-12-815070-2.

[6] "ENDF Libraries".

[8] Rudi J. J. Stamm'ler؛ و دیگران (۲۰۰۳). HELIOS Methods: Version 1.8. Studsvik Scandpower. صص. ۱۹۲. محاسبات ترابرد برای مجتمع سوخت با برنامه ترابرد نوترون «HELIOS نسخه ۱.۸» انجام شد که نتایج آن در نمودار مقدماتی نشان داده شده است.

[9] Rudi J. J. Stamm'ler؛ و دیگران (۲۰۰۳). User Manual AURORA: Version 1.8. Studsvik Scandpower. صص. ۱۴۹.

[10] Rudi J. J. Stamm'ler؛ و دیگران (۲۰۰۳). User Manual ZENITH: Version 1.8. Studsvik Scandpower. صص. ۶۵.

[:2-11] 1 2 3 Rozon, Daniel (1998). Introduction to Nuclear Reactor Kinetics. Polytechnic International Press, Editions de l'Ecole Polytechnique de Montreal. pp. 25–68. ISBN 2-553-00700-0.

[12] "MCBEND".

[ANSWERS-13] 1 2 "ANSWERS".

[14] The MC21 Monte Carlo Transport Code (Report) (به انگلیسی). Knolls Atomic Power Lab. (KAPL), Niskayuna, NY (United States). 2007-01-09. OSTI 903083.

[15] "MCS". Archived from the original on 2018-04-09. Retrieved 2019-07-30.

[16] "Mercury".

[17] "MONK".

[18] "MORET5". Archived from the original on 2015-10-09. Retrieved 2018-11-19.

[19] "OpenMC".

[20] "SCONE". GitHub.

[21] "Serpent – A Monte Carlo Reactor Physics Burnup Calculation Code". Archived from the original on 2014-09-01. Retrieved 2013-12-03.

[22] "TRIPOLI-4". 19 October 2013.

[23] Fomin, A.K.; Serebrov, A.P. (2018). "Monte Carlo Model of the Experiment on Measuring the Neutron Lifetime". Mathematical Models and Computer Simulations. 10 (6): 741–747. Bibcode:2018MMCS...10..741F. doi:10.1134/S2070048218060066.

[24] "Ardra".

[25] "RSICC CODE PACKAGE CCC 760". rsicc.ornl.gov. Retrieved 2022-08-05.

[:0-26] 1 2 "SCALE Overview | ORNL". www.ornl.gov. Retrieved 2022-08-05.

[27] "Software: DIF3D – Nuclear Engineering Division (Argonne)". www.ne.anl.gov. Retrieved 2022-08-05.

[28] Evans, Thomas M.; Stafford, Alissa S.; Slaybaugh, Rachel N.; Clarno, Kevin T. (2010-08-01). "Denovo: A New Three-Dimensional Parallel Discrete Ordinates Code in SCALE". Nuclear Technology. 171 (2): 171–200. Bibcode:2010NucTe.171..171E. doi:10.13182/NT171-171. ISSN 0029-5450. S2CID 93751324.

[29] Watson, A. M.; Grove, R. E.; Shearer, M. T. (2009). Effective software design for a deterministic transport system. American Nuclear Society. ISBN 978-0-89448-069-0. Retrieved 5 August 2022.

[30] "RAMA". Archived from the original on 2015-12-22. Retrieved 2014-09-04.

[31] "OpenMOC".

[32] "APOLLO3" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-12-22. Retrieved 2015-08-29.

[33] "CASMO5". Archived from the original on 2021-06-24. Retrieved 2022-04-07.

[34] "CASMO5".

[35] "Milonga".

[36] "STREAM". Archived from the original on 2018-04-09. Retrieved 2019-07-30.

[37] Gerwin, H.; Scherer, W.; Teuchert, E. (1989-11-01). "The TINTE Modular Code System for Computational Simulation of Transient Processes in the Primary Circuit of a Pebble-Bed High-Temperature Gas-Cooled Reactor". Nuclear Science and Engineering. 103 (3): 302–312. Bibcode:1989NSE...103..302G. doi:10.13182/NSE89-A23682. ISSN 0029-5639.

[۱]

[a]

[۲]

[۳]

[b]

[۴]

[c]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

[۱۲]

[۱۳]

[۱۴]

[۱۵]

[۱۶]

[۱۷]

[۱۸]

[۱۹]

[۲۰]

[۲۱]

[۲۲]

[۲۳]

[۲۴]

[۲۵]

[۲۶]

[۲۷]

[۲۸]

[۲۹]

[۳۰]

[۳۱]

[۳۲]

[۳۳]

[۳۴]