حلقه قفل فاز با پمپ بار

تحلیل گاردنر بر اساس تقریب زیر است:^[۲] بازه زمانی که در آن پی‌اف‌دی در هر دوره‌تناوب سیگنال مرجع حالت غیر صفر دارد.

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$

سپس متوسط خروجی از پی‌اف‌دی پمپ‌بار می‌شود:

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$

با تابع انتقال مربوطه

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$

با استفاده از تابع انتقال فیلتر ${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$ و تابع انتقال وی‌سی‌او ${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$ یک مدل متوسط تقریبی خطی گاردنر از سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم را دریافت می‌کند

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$

در سال ۱۹۸۰، اف گاردنر، بر اساس استدلال فوق، حدس زد که پاسخ گذرا پی‌ال‌ال‌های پمپ‌بار عملی می‌تواند تقریباً مشابه پاسخ پی‌ال‌ال کلاسیک معادل باشد^{[۲] : ۱۸۵۶}(حدس گاردنر در مورد سی‌پی-پی‌ال‌ال^[۷]). به دنبال نتایج گاردنر، با قیاس با حدس اگان در محدوده درون‌کش ای‌پی‌ال‌ال نوع ۲، عَمرو فهیم در کتاب خود^[۸] حدس‌زد ^: ۶که برای داشتن یک محدوده درون‌کِش (گرفتن) نامتناهی، باید از یک فیلتر فعال برای فیلتر حلقه در سی‌پی-پی‌ال‌ال استفاده شود (حدس فهیم-ایگان در محدوده درون‌کِش نوع II سی‌پی-پی‌ال‌ال).

بدون از دست دادن کلیت، فرض می‌شود که لبه‌های انتهایی سیگنال‌های وی‌سی‌او و Ref زمانی رخ می‌دهند که فاز مربوطه به یک عدد صحیح برسد. اجازه دهید نمونه زمانی اولین لبه انتهایی سیگنال Ref به صورت ${\displaystyle t=0}$ تعریف شود. حالت پی‌اف‌دی ${\displaystyle i(0)}$ توسط حالت اولیه پی‌اف‌دی ${\displaystyle i(0-)}$ تعیین می‌شود، تغییرات فاز اولیه وی‌سی‌او ${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$ و Ref ${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$ سیگنال‌ها هستند.

رابطه بین جریان ورودی ${\displaystyle i(t)}$ و ولتاژ خروجی ${\displaystyle v_{F}(t)}$ برای فیلتر تناسبی انتگرالی (PI کامل) بر اساس مقاومت و خازن به شرح زیر است

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

که اینجا ${\displaystyle R>0}$ یک مقاومت است، ${\displaystyle C>0}$ یک ظرفیت‌خازنی است و ${\displaystyle v_{c}(t)}$ بار خازن است سیگنال کنترل ${\displaystyle v_{F}(t)}$ فرکانس وی‌سی‌او را تنظیم می‌کند:ا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$

که اینجا ${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}}$ فرکانس وی‌سی‌او آزادگرد (به انگلیسی: free-running) (سکوت) است (یعنی برای ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$) ${\displaystyle K_{vco}}$ بهره وی‌سی‌او (حساسیت) است و ${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$ فاز وی‌سی‌او است. درنهایت مدل ریاضی غیرخطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال به شرح زیر است

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$

با غیرخطینگی (به انگلیسی: nonlinearity) ثابت تکه‌ای (به انگلیسی: piece-wise) ناپیوسته زیر

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$

و شرایط اولیه ${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$ . این مدل یک سامانه سوئیچینگ غیرخطی، ناخودگردان، ناپیوسته است.

فرکانس سیگنال مرجع، ثابت فرض می‌شود:

${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$ که اینجا ${\displaystyle T_{ref}}$, ${\displaystyle \omega _{ref}}$ و ${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$ یک دوره‌تناوب، فرکانس و فاز از سیگنال مرجع هستند. هرگاه ${\displaystyle t_{0}=0}$. با ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$ اولین لحظه از زمان به طوری که خروجی پی‌اف‌دی (اگر ${\displaystyle i(0)=0}$، پس ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$) و توسط ${\displaystyle t_{1}}$ اولین لبه انتهایی وی‌سی‌او یا Ref صفر می‌شود. علاوه بر این، توالی‌های افزایش دهنده مربوطه ${\displaystyle \{t_{k}\}}$ و ${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$ برای ${\displaystyle k=0,1,2...}$ تعریف شده‌اند. هرگاه ${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$. سپس برای ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ این ${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$ ثابت ناصفر (${\displaystyle \pm 1}$) است. با ${\displaystyle \tau _{k}}$ عرض پالس پی‌اف‌دی (طول فاصله زمانی، که در آن خروجی پی‌اف‌دی یک ثابت ناصفر است) ، ضرب شده با سیگ از خروجی پی‌اف‌دی: یعنی ${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$ برای ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ و ${\displaystyle \tau _{k}=0}$ برای ${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$. اگر لبه انتهایی وی‌سی‌او قبل از لبه انتهایی Ref ضربه بزند، سپس ${\displaystyle \tau _{k}<0}$ و در وضعیت مخالف ما ${\displaystyle \tau _{k}>0}$ یعنی ${\displaystyle \tau _{k}}$ نشان می‌دهد که چگونه یک سیگنال عقب‌تر از دیگری است. خروجی صفر پی‌اف‌دی ${\displaystyle i(t)\equiv 0}$ در فاصله ${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$: ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$ برای ${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$. تبدیل متغیرها^[۹] ${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$ به ${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$ اجازه می‌دهد تا تعداد پارامترها را به دو کاهش دهد: ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$ اینجا ${\displaystyle p_{k}}$ یک جابجایی فاز نرمال شده است و ${\displaystyle u_{k}+1}$ نسبت فرکانس وی‌سی‌او ${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$ به فرکانس مرجع ${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$ است. درنهایت، مدل زمان‌گسسته از مرتبه دوم سی‌پی-پی‌ال‌ال بدون اضافه بار وی‌سی‌او^[۴][۶]

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$

که اینجا

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$

این مدل زمان‌گسسته تنها یک حالت ثابت در ${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$ دارد و امکان تخمین محدوده‌های نگه‌داشت و درون‌کِش را فراهم می‌کند.^[۶]

اگر وی‌سی‌او بیش از حد بارگذاری شود، به‌عنوان مثال ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$ صفر است یا همان: ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$ یا ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$ ، سپس موارد اضافی دینامیکی سی‌پی-پی‌ال‌ال باید در نظر گرفته شود.^[۵] برای هر پارامتر، اضافه‌بار وی‌سی‌او ممکن است برای اختلاف فرکانس کافی بین سیگنال‌های وی‌سی‌او و مرجع رخ دهد. در عمل باید از اضافه‌بار وی‌سی‌او اجتناب شود.

اشتقاق مدل‌های ریاضی غیرخطی مرتبه‌بالا سی‌پی-پی‌ال‌ال منجر به معادلات فاز ترافرازنده می‌شود که به صورت تحلیلی قابل حل نیستند و به روش‌های عددی مانند روش نقطه‌ثابت کلاسیک یا رویکرد نیوتن‌رافسون نیاز دارند.^[۱۰]