حلقه موضعی

در جبر مجرد، یا به‌طور خاص تر در نظریه حلقه‌ها، حلقه‌های موضعی حلقه‌هایی هستند که نسبتاً ساده بوده و برای توصیف چیزی مورد استفاده قرار می‌گیرند که به آن اصطلاحاً «رفتار موضعی» می‌گویند. مثل توابعی که روی واریته‌ها یا منیفلد‌ها یا میدان‌های عددی جبری تعریف می‌شوند و می‌خواهیم آن توابع را در مکان یا عنصر اول مورد بررسی قرار دهیم. جبر موضعی شاخه ای از جبر جابجایی است که به مطالعهٔ حلقه‌های موضعی جابجایی و مدول‌هایشان می‌پردازد.

در عمل، حلقه موضعی جابجایی اغلب به عنوان نتیجه‌ای از موضعی سازی یک حلقه در ایده‌آل اول آن به‌وجود می‌آید.

مفهوم حلقه‌های موضعی توسط ولفگانگ کرول در سال ۱۹۳۸ تحت عنوان Stellenringe معرفی شد^[۱] که معنی آن حلقه موضعی می‌شود. معادل انگلیسی آن یعنی local ring نیز توسط زاریسکی معرفی شد.^[۲]

یک حلقه موضعی است اگر هریک از خواص معادل زیر برقرار باشند:

• ${\displaystyle R}$ یک ایده‌آل چپ ماکسیمال منحصربفرد دارد.
• ${\displaystyle R}$ یک ایده‌آل راست ماکسیمال منحصربفرد دارد.
• ${\displaystyle 1\neq 0}$ و جمع هر دو عضو معکوس ناپذیر ضربی (به انگلیسی: non-unit) در ${\displaystyle R}$ معکوس ناپذیر است.
• ${\displaystyle 1\neq 0}$ و اگر ${\displaystyle x}$ عضو دلخواهی از ${\displaystyle R}$ باشد، آنگاه ${\displaystyle x}$ یا ${\displaystyle 1-x}$ معکوس پذیر ضربی است.
• اگر جمع متناهی از عناصر معکوس پذیر ضربی باشد، آنگاه عضوی از اعضایی که با هم جمع شده‌اند معکوس پذیر ضربیست (در نتیجه به‌طور خاص می‌توان گفت که جمع تهی نمی‌تواند معکوس پذیر ضربی باشد، بنابر این نتیجه می‌شود که ${\displaystyle 1\neq 0}$).