خاصیت ارشمیدسی

این مقاله دربارهٔ جبر مجرد است. برای قانون فیزیکی، اصل ارشمیدس را ببینید.

شرح مصوری از خاصیت ارشمیدسی

در جبر مجرد و آنالیز، خاصیت ارشمیدسی (Archimedean Property) که براساس نام ریاضی‌دان یونانی، ارشمیدس از سیراکوز نامگذاری شده، خاصیتی است که برای برخی از ساختارهای جبری چون گروه‌های مرتب یا گروه‌های نرم‌دار و میدان‌ها برقرار است. این خاصیت بیان می‌دارد که برای دو عدد مثبت دلخواه x و y، عدد صحیحی چون n وجود دارد چنان‌که $nx>y$. معنای دیگرش این است که مجموعه اعداد طبیعی از بالا کراندار نیستند. همچنین این خاصیت را به‌طور نادقیق می‌توان این‌گونه توصیف نمود که هیچ عنصر بی‌نهایت بزرگ یا بی‌نهایت کوچکی وجود ندارد. اتو استولز این اصل را به نام ارشمیدس نام‌گذاری نمود، چرا که در اصل پنجم کتاب ارشمیدس با عنوان «در مورد کره و استوانه» پدیدار شده است.

کاربردهای خاصیت ارشمیدسی

1. ساختار اعداد حقیقی: خاصیت ارشمیدسی یکی از ویژگی‌های بنیادین اعداد حقیقی است و به تمایز آن‌ها از برخی سیستم‌های عددی دیگر، مانند اعداد پادی (p-adic numbers)، کمک می‌کند.
2. حل مسائل حدی و پیوستگی: این خاصیت نقش مهمی در تعریف حدود، کران‌ها، و سری‌های ریاضی دارد. همچنین در قضایایی مثل حداقل بالا (Least Upper Bound) یا اصل خوش‌مرتبی (Well-Ordering Principle) به‌کار می‌رود.
3. آنالیز حقیقی: خاصیت ارشمیدسی اساس بسیاری از مفاهیم در آنالیز ریاضی است، از جمله تعاریف اعداد گنگ و اعداد حقیقی.
4. مقایسه ترتیب‌ها: خاصیت ارشمیدسی تضمین می‌کند که هیچ فاصله یا شکاف بی‌نهایت کوچک یا بی‌نهایت بزرگی بین اعداد حقیقی وجود ندارد.

تعمیم به فضاهای دیگر

خاصیت ارشمیدسی را می‌توان در ساختارهای دیگر، مانند گروه‌های مرتب یا میدان‌های مرتب، تعریف و بررسی کرد. در این حالت، گفته می‌شود که گروه یا میدان دارای خاصیت ارشمیدسی است اگر برای هر دو عنصر مثبت x و y، بتوان با جمع‌های متوالی x، مقدار y را پشت سر گذاشت.

تعریف دقیق

در یک میدان مرتب، خاصیت ارشمیدسی را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد: برای هر دو عنصر مثبت x و y، عدد طبیعی n وجود دارد به‌طوری‌که

$nx>y.$

به بیان معادل، برای هر $x>0$ و هر $y$، عدد طبیعی nای وجود دارد که

$n>x$

و بنابراین مجموعهٔ اعداد طبیعی در میدان موردنظر از بالا کراندار نیست.

صورت دیگری از این خاصیت، که برای تحلیل ریاضی بسیار مهم است، چنین است: برای هر عدد حقیقی مثبت $\varepsilon$، عدد طبیعی nای وجود دارد که

${\frac {1}{n}}<\varepsilon .$

بنابراین می‌توان با انتخاب عدد طبیعی به‌اندازهٔ کافی بزرگ، معکوس آن را از هر عدد مثبت دلخواه کوچک‌تر کرد.

در اعداد حقیقی، این دو صورت معادل‌اند. از خاصیت ارشمیدسی همچنین می‌توان نتیجه گرفت که برای هر عدد حقیقی x، عدد صحیح nای وجود دارد که

$n\leq x<n+1.$

این نتیجه وجود تابع جزء صحیح برای هر عدد حقیقی را تضمین می‌کند.

خاصیت ارشمیدسی در اعداد حقیقی

اعداد حقیقی $\mathbb {R}$ یک میدان مرتب ارشمیدسی تشکیل می‌دهند. در این دستگاه، برای هر دو عدد مثبت a و b، می‌توان عدد طبیعی nای یافت که $na>b$ باشد. این ویژگی یکی از اصول اساسی ساختار اعداد حقیقی است.

بااین‌حال، خاصیت ارشمیدسی به‌تنهایی مشخصهٔ کامل بودن اعداد حقیقی نیست. برای مثال، عددهای گویا $\mathbb {Q}$ نیز یک میدان مرتب ارشمیدسی هستند، اما کامل نیستند؛ برای نمونه، عدد ${\sqrt {2}}$ در $\mathbb {R}$ وجود دارد ولی عضو $\mathbb {Q}$ نیست.

در مقابل، یک میدان مرتب کامل، از جمله میدان اعداد حقیقی، الزاماً ارشمیدسی است. این نتیجه را می‌توان از خاصیت کمینه کران بالا یا اصل کامل بودن میدان حقیقی به دست آورد.

ارتباط با اصل کمینهٔ کران بالا

یکی از نتایج بنیادی آنالیز حقیقی این است که در $\mathbb {R}$ هر مجموعهٔ ناتهی که از بالا کراندار باشد، دارای سوپریمم یا کمینهٔ کران‌های بالا است. خاصیت ارشمیدسی را می‌توان با استفاده از همین اصل اثبات کرد.

برای نمونه، فرض کنید برای یک عدد مثبت x هیچ عدد طبیعی nای وجود نداشته باشد که $nx>y$. در این صورت مجموعهٔ

$A={x,2x,3x,\ldots }$

از بالا به‌وسیلهٔ y کراندار است و بنابراین باید دارای سوپریمم باشد. اگر $s=\sup A$ باشد، آنگاه s-x نیز می‌تواند یک کران بالای A باشد، درحالی‌که $s-x<s$ است؛ این امر با تعریف سوپریمم تناقض دارد. ازاین‌رو چنین کران بالایی وجود ندارد و خاصیت ارشمیدسی برقرار است.

این استدلال نشان می‌دهد که در ساخت استاندارد اعداد حقیقی، خاصیت ارشمیدسی نتیجه‌ای از کامل بودن است، نه اینکه لزوماً همان مفهوم کامل بودن باشد.

پیامدهای مهم

خاصیت ارشمیدسی نتایج متعددی در آنالیز و نظریهٔ اعداد دارد.

وجود جزء صحیح

برای هر $x\in \mathbb {R}$، عدد صحیح یکتایی مانند n وجود دارد که

$n\leq x<n+1.$

در نتیجه، تابع جزء صحیح $\lfloor x\rfloor$ برای هر عدد حقیقی به‌خوبی تعریف می‌شود.

چگالی اعداد گویا

خاصیت ارشمیدسی یکی از ابزارهای اصلی اثبات چگالی مجموعه اعداد گویا در اعداد حقیقی است. اگر $a<b$ باشند، می‌توان عدد طبیعی n را به‌اندازه‌ای بزرگ انتخاب کرد که

${\frac {1}{n}}<b-a.$

سپس با استفاده از جزء صحیح عدد na می‌توان یک عدد صحیح m پیدا کرد به‌گونه‌ای که

$na<m<nb.$

در نتیجه

$a<{\frac {m}{n}}<b.$

بنابراین بین هر دو عدد حقیقی متمایز، یک عدد گویا وجود دارد. به‌طور مشابه، می‌توان وجود یک عدد گنگ بین هر دو عدد حقیقی متمایز را نیز اثبات کرد.

اصل فشردگی و تقریب

از $1/n\to 0$ می‌توان برای تقریب و کنترل خطا استفاده کرد. به‌طور کلی، در بسیاری از استدلال‌های آنالیز حقیقی، انتخاب یک عدد طبیعی به‌اندازهٔ کافی بزرگ به‌منظور کوچک کردن $1/n$ یکی از کاربردهای مستقیم خاصیت ارشمیدسی است.

این ویژگی در اثبات نتایجی دربارهٔ دنباله‌ها، حدها، پیوستگی و تقریب اعداد حقیقی نقش دارد.

میدان‌های ارشمیدسی

یک میدان مرتب را ارشمیدسی می‌نامند اگر برای هر دو عنصر مثبت x و y در آن، عدد طبیعی nای وجود داشته باشد که $nx>y$.

میدان اعداد گویا $\mathbb {Q}$ و میدان اعداد حقیقی $\mathbb {R}$ نمونه‌هایی از میدان‌های ارشمیدسی هستند. در مقابل، میدان‌های مرتب دیگری وجود دارند که این خاصیت را ندارند و به آن‌ها میدان مرتب غیرارشمیدسی گفته می‌شود.

اگر یک میدان مرتب K ارشمیدسی باشد، ساختار مرتب آن را می‌توان در اعداد حقیقی قرار داد. به‌طور مشخص، میدان‌های مرتب ارشمیدسی را می‌توان به‌عنوان زیرمیدان‌هایی از میدان اعداد حقیقی در نظر گرفت؛ همچنین کامل‌سازی یک میدان مرتب ارشمیدسی، با ساختار مرتب مناسب، به میدان اعداد حقیقی منتهی می‌شود.

از این رو، ارشمیدسی بودن یک میدان مرتب ویژگی بسیار مهمی در ارتباط میان جبر و آنالیز حقیقی است.

گروه‌های مرتب ارشمیدسی

مفهوم ارشمیدسی بودن فقط به میدان‌ها محدود نیست و برای گروه‌های مرتب نیز تعریف می‌شود. در یک گروه مرتب، می‌توان عناصر را بر اساس بزرگی مقایسه کرد و عمل گروهی با ترتیب سازگار است.

یک گروه مرتب تمام‌مرتبه را ارشمیدسی می‌نامند اگر هیچ زیرگروه محدب نابدیهی نداشته باشد. نتیجهٔ مهم در نظریهٔ گروه‌های مرتب این است که هر گروه مرتب ارشمیدسی را می‌توان به‌صورت یک زیرگروه از گروه جمعی اعداد حقیقی با ترتیب معمول در نظر گرفت.

این نتیجه ارتباط عمیقی میان ساختارهای جبری مرتب و خط حقیقی ایجاد می‌کند و در مطالعهٔ گروه‌های مرتب و گروه‌های آبلی مرتب اهمیت دارد.

ساختارهای غیرارشمیدسی

اگر خاصیت ارشمیدسی در یک ساختار مرتب برقرار نباشد، ممکن است عناصری وجود داشته باشند که از دید ساختار، از هر عدد طبیعی کوچک‌تر باشند یا عناصری وجود داشته باشند که از همهٔ مضرب‌های یک عنصر مثبت بزرگ‌تر باشند.

برای نمونه، اگر در یک میدان مرتب غیرارشمیدسی عنصری مثبت مانند $\varepsilon$ وجود داشته باشد که

$n\varepsilon <1$

برای همهٔ اعداد طبیعی n برقرار باشد، آنگاه $\varepsilon$ در معنای مرتب‌شدهٔ کلمه یک بی‌نهایت کوچک یا infinitesimal است. چنین عنصری در میدان اعداد حقیقی وجود ندارد.

به همین ترتیب، ممکن است عنصر مثبتی مانند H وجود داشته باشد که برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$H>n.$

در این حالت H نسبت به عناصر استاندارد عددی، عنصری بی‌نهایت بزرگ محسوب می‌شود.

این مفاهیم در آنالیز غیرمعیاری و مطالعهٔ میدان‌های مرتب غیرارشمیدسی اهمیت دارند.

اعداد پادی و معنای «غیرارشمیدسی»

اصطلاح «غیرارشمیدسی» در نظریهٔ اعداد و آنالیز پادی نیز با معنایی مرتبط اما دقیقاً یکسان با «میدان مرتب غیرارشمیدسی» به‌کار می‌رود و نباید این دو مفهوم را بدون توجه به ساختار موردنظر یکسان دانست.

برای هر عدد اول p، عدد p-آدیک بر اساس قدرمطلق یا نرم $p$-آدیک ساخته می‌شود. این نرم از رابطهٔ

$|x+y|_{p}\leq \max {|x|_{p},|y|_{p}}$

پیروی می‌کند که قوی‌تر از نابرابری مثلثی معمول است و به همین دلیل یک نرم اولترامتر یا غیرارشمیدسی نامیده می‌شود.

اعداد p-آدیک با کامل‌سازی اعداد گویا نسبت به این نرم به دست می‌آیند. بنابراین، «غیرارشمیدسی» در زمینهٔ اعداد پادی عمدتاً به ویژگی قدر مطلق یا متریک مربوط است، نه صرفاً به نقض خاصیت ارشمیدسی برای یک ترتیب.

ازاین‌رو، بیان سادهٔ «اعداد پادی خاصیت ارشمیدسی ندارند» بدون مشخص کردن منظور از خاصیت ارشمیدسی می‌تواند گمراه‌کننده باشد؛ اعداد پادی معمولاً در چارچوب قدر مطلق غیرارشمیدسی و متریک اولترامتر مطالعه می‌شوند.

خاصیت ارشمیدسی و اصل ارشمیدس در هندسه

ریشهٔ تاریخی این مفهوم به بررسی اندازه‌ها و طول‌ها در هندسهٔ یونان باستان بازمی‌گردد. در صورت هندسی اصل ارشمیدسی، اگر دو پاره‌خط با اندازه‌های متفاوت داده شده باشند، با تکرار پاره‌خط کوچک‌تر به تعداد کافی می‌توان از اندازهٔ پاره‌خط بزرگ‌تر عبور کرد.

این اصل به‌طور صریح در آثار ارشمیدس صورت‌بندی شده‌است و بعدها در بنیان‌های هندسه و آنالیز ریاضی اهمیت ویژه‌ای پیدا کرد. در قرن نوزدهم، با مطالعهٔ ساختارهای عددی و هندسی گسترده‌تر، نمونه‌هایی از کمیت‌هایی کشف و بررسی شدند که این اصل را برآورده نمی‌کردند.

در دستگاه اصول هیلبرت نیز اصل ارشمیدسی در ارتباط با اصل پیوستگی هندسی مطرح می‌شود و نقش آن در ارتباط میان هندسهٔ اقلیدسی و ساختار خط حقیقی مورد توجه قرار گرفته‌است.

تفاوت خاصیت ارشمیدسی و کامل بودن

این دو مفهوم ارتباط نزدیکی دارند، اما یکسان نیستند.

• $\mathbb {Q}$ یک میدان مرتب **ارشمیدسی** است، اما کامل نیست.
• $\mathbb {R}$ یک میدان مرتب **ارشمیدسی و کامل** است.
• یک میدان مرتب می‌تواند **غیرارشمیدسی** باشد و در آن عناصر بی‌نهایت کوچک یا بی‌نهایت بزرگ وجود داشته باشند.
• کامل بودن به ویژگی‌هایی مانند وجود حد برای دنباله‌های کوشی یا وجود کمینهٔ کران بالا مربوط است، درحالی‌که ارشمیدسی بودن مشخص می‌کند که مضرب‌های متناهی یک عنصر مثبت می‌توانند از هر عنصر دیگر عبور کنند.

بنابراین، خاصیت ارشمیدسی را باید یکی از ویژگی‌های ترتیب و مقیاس در یک ساختار عددی یا جبری دانست، نه تعریفی دیگر برای کامل بودن اعداد حقیقی.

تعمیم در فضاهای مرتب

مفهوم ارشمیدسی بودن در فضای برداری مرتب نیز تعریف می‌شود. در این زمینه، ساختار ترتیب توسط یک مخروط مثبت مشخص می‌شود و خاصیت ارشمیدسی به رابطهٔ میان مضرب‌های طبیعی یک عنصر و عناصر مثبت دیگر مربوط است.

فضاهای برداری مرتب ارشمیدسی در آنالیز تابعی، نظریهٔ فضاهای برداری مرتب و مطالعهٔ شبکه‌های برداری اهمیت دارند. برای نمونه، در نظریهٔ فضاهای مرتب، کامل بودن مناسبِ ترتیبی می‌تواند به ارشمیدسی بودن منجر شود.

اهمیت در آنالیز ریاضی

خاصیت ارشمیدسی در بسیاری از استدلال‌های پایهٔ آنالیز حقیقی حضور دارد. از جمله، از آن برای انتخاب یک عدد طبیعی به‌اندازهٔ کافی بزرگ، کوچک کردن $1/n$، ساخت تقریب‌های گویا، اثبات چگالی اعداد گویا و ایجاد ارتباط میان اعداد صحیح و اعداد حقیقی استفاده می‌شود.

از نظر تاریخی نیز این خاصیت یکی از پیوندهای مهم میان هندسهٔ اندازه‌ها و دستگاه عددی حقیقی است. در ریاضیات جدید، بررسی ساختارهایی که این ویژگی را ندارند به پیدایش و توسعهٔ نظریه‌هایی مانند هندسهٔ غیرارشمیدسی، میدان‌های مرتب غیرارشمیدسی، آنالیز غیرمعیاری و آنالیز پادی انجامیده‌است.

سیستم‌های غیرارشمیدسی

سیستم‌های عددی مانند اعداد پادی (p-adic numbers) یا ساختارهای خاص در آنالیز غیرمعیاری، خاصیت ارشمیدسی ندارند. به عنوان مثال، در اعداد پادی، اعداد بسیار بزرگی وجود دارند که نمی‌توان آن‌ها را با جمع‌های متوالی یک عدد کوچک‌تر پشت سر گذاشت.

منابع

• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. Archived from the original on 2015-03-07. Retrieved 2009-01-30.