چرخه حدی

در ریاضیات و مطالعهٔ سامانه‌های پویایی که دارای فضای فاز دوبُعدی هستند، یک چرخهٔ حدی، یا یک دورهٔ حدی، مسیر بسته‌ای در فضای فاز است که پس از طی زمان لازم سامانه به وضعیتی در بی‌نهایت مثبت ویا منفی می‌رسد. به هر سامانه‌ای که چنین رفتاری داشته باشند، سامانهٔ غیرخطی می‌گویند. این چنین سامانه‌هایی اولین بار به وسیلهٔ پوآنکاره معرفی شدند. سامانه‌هایی با چرخهٔ حدی اساساً دارای سه وضعیت هستند. سامانه گاهی به یک نقطه در داخل دور یا در نقطه‌ای خارج از دور پس از صرف زمان مناسب می‌رسد. در برخی شرایط، سامانه بر روی یک مسیر بسته در فضای فاز در حرکت می‌ماند و از آن خارج نمی‌شود.^[۱]

یک سامانهٔ پویای دوبعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

$${\displaystyle x'(t)=V(x(t))}$$به طوری که

$${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$$

یک نگاشتْ یک‌به‌یک و به‌عنوان تابع، خوش‌رفتار است. مسیر این سامانه بعضی اوقات یک تابع خوش‌رفتار در فضای حقیقی است که می‌توان آن را با یک معادلهٔ دیفرانسیل نشان داد. چنین مسیرهایی که پس از گذشت زمانی دوباره به نقطهٔ آغازینشان بازمی‌گردند را چرخه حدی می‌نامند. البته به هر صورت سامانه باید پویا باشد. یک سامانه ثابت را در این دسته قرار نمی‌دهیم. بدیهی است این مسیر سامانه‌ای تناوبی است و با زبان ریاضی چنین است:

$${\displaystyle x(t+t_{\circ })=x(t);\quad t_{\circ }>0,t\in \mathbb {R} }$$