شدت (نظریه اندازه‌گیری)

در نظریه اندازه‌گیری (شاخه‌ای از ریاضیات)، شدت یک اندازه‌، مقدار چشمداشتی آن اندازه‌ روی یک بازه در واحد طول است. یعنی اندازه (در معنای تعریف شده روی مجموعه‌ها) تصادفی، هم در فضای احتمالاتی میانگین گرفته شده و هم روی بازه ی به طول معیار).

فرض کنید ${\displaystyle \mu }$ یک اندازه روی مجموعه اعداد حقیقی باشد. شدت ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ از ${\displaystyle \mu }$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle {\overline {\mu }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\mu ((-s,t-s])}{t}}}$

به شرط اینکه این حد، وجود داشته باشد، و برای همه ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ها مستقل از ${\displaystyle s}$ باشد.

شدت اندازه لبگ، برابر ۱ است: اندازه لبگ (اندازه تعریف شده‌روی مجموعه‌ها) بنام ${\displaystyle \lambda }$ را در نظر بگیرید. برای یک ${\displaystyle s}$ فیکس شده، مقدار آن برابر است با:

${\displaystyle \lambda ((-s,t-s])=(t-s)-(-s)=t,}$

${\displaystyle {\overline {\lambda }}:=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {\lambda ((-s,t-s])}{t}}=\lim _{|t|\to \infty }{\frac {t}{t}}=1.}$

بنابراین، مقدار «شدت» برای اندازه لبگ، برابر ۱ است.

مجموعه تمام اندازه‌های ${\displaystyle M}$ که مفهوم «شدت» برای آن خوش تعریف باشد، زیرمجموعه‌ای قابل اندازه‌گیری از مجموعه تمام اندازه‌گیری‌های روی ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ،‌ نگاشت

${\displaystyle I\colon M\to \mathbb {R} }$

تعریف شده توسط

${\displaystyle I(\mu )={\overline {\mu }}}$

، یک مجموعه‌ی قابل اندازه‌گیری اندازه پذیر است.

• فرایند نقطه‌ای