فرایند هم‌آنتروپی

بیشتر تجهیزات جریان-پایدار در شرایط بی‌دررو کار می‌کنند و فرایند ایده‌آل برای این تجهیزات، فرایند هم‌آنتروپی است. پارامتری که توصیف می‌کند یک تجهیز با چه بازدهی به تجهیز هم‌آنتروپی متناظر خود نزدیک می‌شود، بازده هم‌آنتروپی یا بازده بی‌دررو نامیده می‌شود.^[۱۳]

بازده هم‌آنتروپی توربین‌ها:

${\displaystyle \eta _{\text{t}}={\frac {\text{کار واقعی توربین}}{\text{کار هم‌آنتروپی توربین}}}={\frac {W_{a}}{W_{s}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}}$

بازده هم‌آنتروپی کمپرسورها:

${\displaystyle \eta _{\text{c}}={\frac {\text{کار هم‌آنتروپی کمپرسور}}{\text{کار واقعی کمپرسور}}}={\frac {W_{s}}{W_{a}}}\cong {\frac {h_{2s}-h_{1}}{h_{2a}-h_{1}}}}$

بازده هم‌آنتروپی شیپوره (نازل):

${\displaystyle \eta _{\text{n}}={\frac {\text{انرژی جنبشی واقعی در خروجی نازل}}{\text{انرژی جنبشی هم‌آنتروپی در خروجی نازل}}}={\frac {V_{2a}^{2}}{V_{2s}^{2}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}}$

برای تمام معادلات فوق:

${\displaystyle h_{1}}$ آنتالپی ویژه در حالت ورودی است،

${\displaystyle h_{2a}}$ آنتالپی ویژه در حالت خروجی برای فرایند واقعی است،

${\displaystyle h_{2s}}$ آنتالپی ویژه در حالت خروجی برای فرایند هم‌آنتروپی است.

توجه: فرضیات هم‌آنتروپی فقط برای چرخه‌های ایده‌آل قابل اعمال هستند. چرخه‌های واقعی به دلیل ناکارآمدی کمپرسور و توربین و قانون دوم ترمودینامیک، تلفات ذاتی دارند. سیستم‌های واقعی کاملاً هم‌آنتروپی نیستند، اما رفتار هم‌آنتروپی برای بسیاری از اهداف محاسباتی، یک تقریب مناسب است.

برای یک سیستم بسته، تغییر کل انرژی یک سیستم، مجموع کار انجام شده و گرمای اضافه شده است:

${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q}$

کار برگشت‌پذیر انجام شده بر روی یک سیستم با تغییر حجم عبارت است از:

${\displaystyle \delta W=-p\,dV}$

که در آن ${\displaystyle p}$ فشار و ${\displaystyle V}$ حجم است. تغییر در آنتالپی (${\displaystyle H=U+pV}$) به صورت زیر داده می‌شود:

${\displaystyle dH=dU+p\,dV+V\,dp}$

سپس برای فرآیندی که هم برگشت‌پذیر و هم بی‌دررو باشد (یعنی هیچ انتقال گرمایی رخ ندهد)، ${\displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=0}$ است و بنابراین ${\displaystyle dS=\delta Q_{\text{rev}}/T=0}$. تمام فرآیندهای بی‌دررو برگشت‌پذیر، هم‌آنتروپی هستند. این منجر به دو مشاهده مهم می‌شود:

${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+0}$

${\displaystyle dH=\delta W+\delta Q+p\,dV+V\,dp=-p\,dV+0+p\,dV+V\,dp=V\,dp}$

در ادامه، محاسبات زیادی را می‌توان برای فرآیندهای هم‌آنتروپی یک گاز ایده‌آل انجام داد. برای هر تبدیلی از یک گاز ایده‌آل، همیشه درست است که:

${\displaystyle dU=nC_{v}\,dT}$ و ${\displaystyle dH=nC_{p}\,dT}$

با استفاده از نتایج کلی که در بالا برای ${\displaystyle dU}$ و ${\displaystyle dH}$ استخراج شد، داریم:

${\displaystyle dU=nC_{v}\,dT=-p\,dV}$

${\displaystyle dH=nC_{p}\,dT=V\,dp}$

بنابراین برای یک گاز ایده‌آل، نسبت ظرفیت‌های گرمایی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}}$

برای یک گاز کامل از نظر کالری (calorically perfect gas), ${\displaystyle \gamma }$ ثابت است. از این رو با انتگرال‌گیری از معادله فوق، با فرض یک گاز کامل از نظر کالری، به دست می‌آوریم:

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{ثابت}}}$

یعنی:

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$

با استفاده از معادله حالت برای یک گاز ایده‌آل، ${\displaystyle pV=nRT}$:

${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{ثابت}}}$

(اثبات: ${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{ثابت}}\Rightarrow PV\,V^{\gamma -1}={\text{ثابت}}\Rightarrow nRT\,V^{\gamma -1}={\text{ثابت}}.}$ اما nR خودش ثابت است، بنابراین ${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{ثابت}}}$.)

${\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\text{ثابت}}}$

همچنین، برای ${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$ ثابت (در هر مول):

${\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}$ و ${\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}$

${\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

بنابراین برای فرآیندهای هم‌آنتروپی با یک گاز ایده‌آل:

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}$ یا ${\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}$

${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{1}}{P_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}$
${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$

استخراج شده از:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{ثابت}}}$

${\displaystyle PV=mR_{s}T}$

${\displaystyle P=\rho R_{s}T}$

که در آن:

${\displaystyle P}$ = فشار

${\displaystyle V}$ = حجم

${\displaystyle \gamma }$ = نسبت ظرفیت‌های گرمایی ویژه = ${\displaystyle C_{p}/C_{v}}$

${\displaystyle T}$ = دما

${\displaystyle m}$ = جرم

${\displaystyle R_{s}}$ = ثابت ویژه گاز = ${\displaystyle R/M}$

${\displaystyle R}$ = ثابت جهانی گازها

${\displaystyle M}$ = وزن مولکولی گاز مورد نظر

${\displaystyle \rho }$ = چگالی

${\displaystyle C_{p}}$ = ظرفیت گرمایی مولی در فشار ثابت

${\displaystyle C_{v}}$ = ظرفیت گرمایی مولی در حجم ثابت