فرایند کاکس

در نظریه احتمال، یک فرآیند کاکس، که با نام فرآیند پواسون تصادفی مضاعف نیز شناخته می‌شود، یک فرآیند نقطه‌ای است که تعمیمی از یک فرآیند پواسون است که در آن شدتی که در فضای ریاضی زیربنایی (اغلب فضا یا زمان) تغییر می‌کند، خود یک فرآیند تصادفی است. این فرآیند به نام آماردان دیوید کاکس نامگذاری شده است که اولین بار این مدل را در سال ۱۹۵۵ منتشر کرد.^[۱]

فرآیندهای کاکس برای شبیه‌سازی قطارهای اسپایک (دنباله‌ای از پتانسیل‌های عمل تولید شده توسط یک نورون ) ^[۲] استفاده شده اند.

همچنین در ریاضیات مالی استفاده شده اند که در آن «چارچوبی مفید برای مدل‌سازی قیمت ابزارهای مالی که در آن‌ها ریسک اعتباری عامل مهمی است» ^[۳] ایجاد می‌کنند.

همانطور که فرایند پواسن (ناهمگون)، توسط یک نرخ (متغیر در زمان) تعیین می‌شود، فرایند کاکس هم توسط یک پروسه دیگر تعیین و هدایت می‌شود. در حالت کلی،‌آن پروسه هم میتواند ماهیت تصادفی داشته باشد.

${\displaystyle \xi }$ را یک یک اندازه تصادفی در نظر بگیرید. یک اندازه تصادفی ${\displaystyle \eta }$ ، یک فرآیند کاکس هدایت شده با ${\displaystyle \xi }$ نامیده می‌شود، چنانچه ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\eta \mid \xi =\mu )}$ یک فرآیند پواسون با اندازه شدت است ${\displaystyle \mu }$ باشد.

در اینجا، ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\eta \mid \xi =\mu )}$ توزیع مشروط برای ${\displaystyle \eta }$ است،‌ برای داده (شرط) ${\displaystyle \{\xi =\mu \}}$ .

یعنی پروسه کاکس (${\displaystyle \eta }$)، یک پروسه (اندازه تصادفی) است که خودش توسط یک پروسه تصادفی (اندازه تصادفی)‌ دیگر (${\displaystyle \xi }$) تعریف می‌شود. پروسه ${\displaystyle \xi }$، یک فیلتراسیون (پالایش) برای پروسه کاکس است (در مورد پالایش، به مدخل فرایند نقطه‌ای مراجعه کنید.)

اگر ${\displaystyle \eta }$ یک فرآیند کاکس هدایت شونده با ${\displaystyle \xi }$ باشد، تبدیل لاپلاس بر روی ${\displaystyle \eta }$ وجود دارد و آن را می‌توان به این صورت نوشت:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\eta }(f)=\exp \left(-\int 1-\exp(-f(x))\;\xi (\mathrm {d} x)\right)}$

برای هر تابع اندازه پذیر مثبت ${\displaystyle f}$ .

فرایندهای نقطه‌ای کاکس Cox، انواعی از فرآیند های نقطه‌ای هستند که تعمیمی از پواسن محسوب می‌شوند، که بر اساس تعمیم ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ به روی فضاهای کلی تر تعریف می‌شوند. در این حالت تعمیم‌یافته، تابع ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$ توسط مشتق‌گیری به سبک Radon–Nikodym derivative (مفهومی در نظریه اندازه) تعریف می‌شود. تابع ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$، «اندازه‌ی شدت» یا (Intensity Measure)، و ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$ «میدان شدت» (Intensity Field) برای یک پروسه کاکس خوانده می‌شود.

در این تعمیم، این توابع و پروسه ها، بجای نیم خط (زمان) یا فضا، بر روی هر زیر مجموعه‌های کراندار B (تکه‌های فضا) روی میدان مورد نظر تعریف می‌شود، که تعمیمی از بازه ${\displaystyle [u,v]}$ روی فضاهای تعمیم یافته است.

${\displaystyle \xi (B)}$ به معنای بخشی از پروسه که در تکه مورد نظر (B) قرار دارد، و ${\displaystyle \Lambda (B)}$ بخشی از گذشته است که به ان وابستگی دارد. یعینی پروسه، نقطه‌ای، فقط وابسته به ${\displaystyle \Lambda (B)}$ است (تنها وابستگی آن به/ تابع ${\displaystyle \Lambda (B)}$ بودن است).

خاصیت دوم، استقلال بین رفتار پروسه در افراز‌ها یا تکه‌های آن میدان پیوسته ای که محل وقوع نقاط مورد نظر است: چنانچه تکه‌های ${\displaystyle B_{i}}$،‌محموعه هایی جدا از هم باشند، ${\displaystyle \xi (B)}$ها (پروسه‌های جدایی که با جدا کردنِ هر کدام تعریف می‌شود)، مستقل-مشروط از هم می‌شوند، با داده شدن ${\displaystyle \Lambda (B_{i})}$ها. در این صورت، کل پروسه ${\displaystyle \xi (B)}$ روی کل فضا، یک پروسه از نوع کاکس Cox خواهد بود.

به عبارت دیگر

${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}=\varnothing \Longrightarrow \xi (B_{1}|\Lambda (B_{1}))\perp \xi (B_{1}|\Lambda (B_{1}))}$

• فرایند نقطه‌ای (از فرایندهای تصادفی)
• فرآیند پواسون ناهمگن ، که در آن ${\displaystyle \lambda (t)}$ به یک تابع قطعی محدود می‌شود.
• فرآیند پواسون (از فرایندهای تصادفی)
• فرایند شمارشگر (از فرایندهای تصادفی)
• شدت فرآیندهای شمارش
• مدل پنهان مارکوف پواسون
• فرآیند گاوسی

کتابشناسی

• کاکس، دی. آر. و ایشام، وی. پوینت پروسِز ، لندن: چاپمن و هال، ۱۹۸۰ . Cox, D. R. and Isham, V. Point Processes, London: Chapman & Hall, 1980 شابک ‎۰−۴۱۲−۲۱۹۱۰−۷
• دونالد ال. اسنایدر و مایکل آی. میلر ، فرآیندهای نقطه‌ای تصادفی در زمان و مکان ، انتشارات اشپرینگر، ۱۹۹۱ (نیویورک) (برلین). Donald L. Snyder and Michael I. Miller Random Point Processes in Time and Space Springer-Verlag, 1991 شابک ‎۰−۳۸۷−۹۷۵۷۷−۲ (New York) شابک ‎۳−۵۴۰−۹۷۵۷۷−۲ (Berlin)