فهرست اجسام جانسون

در هندسه، یک چندوجهی محدب که وجه‌هایش چندضلعی‌های منتظم باشند، جسم جانسون یا گاهی جسم جانسون–زالگالر نامیده می‌شود. برخی نویسندگان چندوجهی‌های یکنواخت (که در آن‌ها همهٔ رأس‌ها به یکدیگر متقارن‌اند) را از این تعریف کنار می‌گذارند؛ چندوجهی‌های یکنواخت شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و همچنین منشورها و پادمنشورها می‌شوند.

اجسام جانسون به افتخار ریاضی‌دان آمریکایی نورمن جانسون (۱۹۳۰–۲۰۱۷) نام‌گذاری شده‌اند که در سال ۱۹۶۶ فهرستی از ۹۲ چندوجهی جانسون غیریکنواخت منتشر کرد. حدس او مبنی بر کامل بودن این فهرست و نبود نمونه‌های دیگر، در سال ۱۹۶۹ توسط ریاضی‌دان روسی-اسرائیلی ویکتور زالگالر (۱۹۲۰–۲۰۲۰) اثبات شد.

این نوشتار ۹۲ جسم جانسون غیریکنواخت را همراه با تصاویر فهرست می‌کند. این اجسام در کنار عناصر پایه‌ای‌شان (رأس‌ها، یال‌ها و وجه‌ها) و مهم‌ترین ویژگی‌های کلی‌شان، از جمله گروه‌های تقارنی ($C_{n}$، $D_{n}$، $C_{n\mathrm {v} }$، $D_{n\mathrm {h} }$، $D_{n\mathrm {d} }$، $C_{s}$)، مرتبه، سطح رویی و حجم آمده‌اند.

ویژگی‌ها

هر چندوجهی ویژگی‌های خاص خود را دارد، از جمله تقارن (هندسه) و اندازه‌گیری. گفته می‌شود یک شیء تقارن دارد اگر تبدیل هندسیای وجود داشته باشد که آن را به خود نگاشت کند. همه این تبدیل‌ها را می‌توان در یک گروه (ریاضیات) گردآوری کرد، همراه با شمار عناصر آن گروه که به عنوان مرتبه شناخته می‌شود. در فضای دوبعدی، این تبدیل‌ها شامل چرخش پیرامون مرکز یک چندضلعی و بازتاب پیرامون نیمساز عمودی پاره‌خط آن می‌شوند. اندازه‌گیری چندوجهی‌ها دربرگیرنده سطح رویی و حجم است. مساحت یک اندازه‌گیری دوبعدی است که از حاصل‌ضرب طول و عرض به دست می‌آید؛ برای یک چندوجهی، سطح رویی برابر مجموع مساحت‌های همه وجه‌های آن است. حجم، اندازه‌گیری یک ناحیه در فضای سه‌بعدی است. حجم یک چندوجهی را می‌توان به روش‌های گوناگون به دست آورد: یا از طریق قاعده و ارتفاع آن (مانند هرم‌ها و منشورها)، یا با برش‌زدن آن به قطعات و جمع‌کردن حجم‌های جداگانه، یا با یافتن ریشه یک چندجمله‌ای که نمایانگر آن چندوجهی است.

چندضلعی که به‌اندازه ${\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$ به‌صورت متقارن می‌چرخد با $C_{n}$ نشان داده می‌شود، یک گروه دوری از مرتبه $n$؛ ترکیب این با تقارن بازتابی به تقارن گروه دووجهی $D_{n}$ از مرتبه $2n$ می‌انجامد. در گروه‌های تقارن نقطه‌ای سه‌بعدی، تبدیل‌هایی که تقارن یک چندوجهی را حفظ می‌کنند شامل چرخش پیرامون خطی که از مرکز قاعده می‌گذرد — که محور تقارن نامیده می‌شود — و بازتاب نسبت به صفحات عمود بر نیمساز قاعده می‌شوند که به عنوان تقارن هرمی $C_{n\mathrm {v} }$ از مرتبه $2n$ شناخته می‌شود. تبدیلی که تقارن یک چندوجهی را با بازتاب در امتداد یک صفحه افقی حفظ می‌کند، تقارن منشوری $D_{n\mathrm {h} }$ از مرتبه $4n$ نام دارد. تقارن پادمنشوری $D_{n\mathrm {d} }$ از مرتبه $4n$ تقارن را با چرخش نیمه پایینی و بازتاب در امتداد صفحه افقی حفظ می‌کند. گروه تقارنی $C_{n\mathrm {h} }$ از مرتبه $2n$ تقارن را از طریق چرخش پیرامون محور تقارن و بازتاب در صفحه افقی حفظ می‌کند؛ حالت خاصی که تقارن را با یک چرخش کامل حفظ می‌کند $C_{1\mathrm {h} }$ از مرتبه ۲ است که اغلب با $C_{s}$ نشان داده می‌شود.

اجسام

هفده جسم جانسون را می‌توان به‌عنوان چندوجهی‌های بنیادی دسته‌بندی کرد؛ به این معنا که نمی‌توان با یک صفحه آن‌ها را به دو چندوجهی محدب کوچک‌تر با وجه‌های منتظم تقسیم کرد. شش جسم جانسون نخست این معیار را برآورده می‌سازند: هرم مربعی متساوی‌الاضلاع، هرم مخمس‌القاعده، گنبد مثلثی، گنبد مربعی، گنبد پنج‌ضلعی و گرد پنج‌ضلعی. یازده جسم جانسون دیگر نیز این معیار را برآورده می‌کنند: ایکوساهدرون سه‌کاهش‌یافته، رومبیکوزیدودکاهدرون دوکاهش‌یافته موازی، رومبیکوزیدودکاهدرون سه‌کاهش‌یافته، اسفنوئید پیچشی، پادمنشور مربعی پیچشی، اسفنوکورونا، اسفنومگاکورونا، هبه‌اسفنومگاکورونا، دیسفنوسینگولوم، بیلوناباروتوندا و هبه‌اسفنوروتوندای مثلثی. سایر اجسام جانسون بنیادی نیستند و با بهره‌گیری از شش جسم جانسون نخست در کنار اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی از طریق فرآیندهای گوناگون ساخته می‌شوند. افزودن به معنای الحاق اجسام جانسون به یک یا چند وجه از چندوجهی‌هاست، درحالی‌که کشیدگی یا چرخش-کشیدگی به ترتیب به معنای پیوستن آن‌ها به قاعده‌های یک منشور یا پادمنشور است. برخی دیگر از طریق کاهش، یعنی برداشتن یکی از شش جسم نخست از یک یا چند وجه یک چندوجهی، ساخته می‌شوند.

جدول زیر ۹۲ جسم جانسون (غیریکنواخت) را فهرست می‌کند. جدول شماره‌گذاری هر جسم (که با $J_{n}$ نشان داده می‌شود) را دربرمی‌گیرد. همچنین گروه تقارنی و شمار رأس‌ها، یال‌ها و وجه‌های هر جسم، و نیز سطح رویی و حجم آن در طول یال ۱ آورده شده‌است. برای سادگی، جدول از کمیت $\alpha =5+2{\sqrt {5}}$ بهره می‌گیرد.

جدول ۹۲ جسم جانسون

$J_{n}$	نام جسم	تصویر	رأس‌ها	یال‌ها	وجه‌ها	گروه تقارنی و مرتبه	سطح رویی، دقیق	سطح رویی، تقریبی	حجم، دقیق	حجم، تقریبی
۱	هرم مربعی		۵	۸	۵	$C_{4v}$ از مرتبه ۸	$1+{\sqrt {3}}$	۲٫۷۳۲۱	${\frac {\sqrt {2}}{6}}$	۰٫۲۳۵۷
۲	هرم پنج‌ضلعی		۶	۱۰	۶	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15\alpha }}\right)}}$	۳٫۸۸۵۵	${\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}$	۰٫۳۰۱۵
۳	گنبد مثلثی		۹	۱۵	۸	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	$3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}$	۷٫۳۳۰۱	${\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}$	۱٫۱۷۸۵
۴	گنبد مربعی		۱۲	۲۰	۱۰	$C_{4v}$ از مرتبه ۸	$7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$	۱۱٫۵۶۰۵	$1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$	۱٫۹۴۲۸
۵	گنبد پنج‌ضلعی		۱۵	۲۵	۱۲	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$5+{\frac {5{\sqrt {3}}+{\sqrt {155\alpha -50}}}{4}}$	۱۶٫۵۷۹۸	${\frac {5+4{\sqrt {5}}}{6}}$	۲٫۳۲۴۱
۶	گرد پنج‌ضلعی		۲۰	۳۵	۱۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	${\frac {5{\sqrt {3}}+{\sqrt {145\alpha -75}}}{2}}$	۲۲٫۳۴۷۲	${\frac {45+17{\sqrt {5}}}{12}}$	۶٫۹۱۷۸
۷	هرم مثلثی کشیده		۷	۱۲	۷	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	$3+{\sqrt {3}}$	۴٫۷۳۲۱	${\frac {{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{12}}$	۰٫۵۵۰۹
۸	هرم مربعی کشیده		۹	۱۶	۹	$C_{4v}$ از مرتبه ۸	$5+{\sqrt {3}}$	۶٫۷۳۲۱	$1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}$	۱٫۲۳۵۷
۹	هرم پنج‌ضلعی کشیده		۱۱	۲۰	۱۱	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$5+{\frac {5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۸٫۸۸۵۵	${\frac {5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5\alpha }}}{24}}$	۲٫۰۲۲
۱۰	هرم مربعی چرخش‌کشیده		۹	۲۰	۱۳	$C_{4v}$ از مرتبه ۸	$1+3{\sqrt {3}}$	۶٫۱۹۶۲	${\frac {{\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}{6}}$	۱٫۱۹۲۷
۱۱	هرم پنج‌ضلعی چرخش‌کشیده (ایکوساهدرون کاهش‌یافته)		۱۱	۲۵	۱۶	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	${\frac {15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۸٫۲۱۵۷	${\frac {25+9{\sqrt {5}}}{24}}$	۱٫۸۸۰۲
۱۲	دوهرم مثلثی		۵	۹	۶	$D_{3h}$ از مرتبه ۱۲	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	۲٫۵۹۸۱	${\frac {\sqrt {2}}{6}}$	۰٫۲۳۵۷
۱۳	دوهرم پنج‌ضلعی		۷	۱۵	۱۰	$D_{5h}$ از مرتبه ۲۰	${\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}$	۴٫۳۳۰۱	${\frac {5+{\sqrt {5}}}{12}}$	۰٫۶۰۳۰
۱۴	دوهرم مثلثی کشیده		۸	۱۵	۹	$D_{3h}$ از مرتبه ۱۲	$3+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	۵٫۵۹۸۱	${\frac {\sqrt {2}}{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	۰٫۶۶۸۷
۱۵	دوهرم مربعی کشیده		۱۰	۲۰	۱۲	$D_{4h}$ از مرتبه ۱۶	$4+2{\sqrt {3}}$	۷٫۴۶۴۱	$1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}$	۱٫۴۷۱۴
۱۶	دوهرم پنج‌ضلعی کشیده		۱۲	۲۵	۱۵	$D_{5h}$ از مرتبه ۲۰	$5+{\frac {5}{2}}{\sqrt {3}}$	۹٫۳۳۰۱	${\frac {5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5\alpha }}}{12}}$	۲٫۳۲۳۵
۱۷	دوهرم مربعی چرخش‌کشیده		۱۰	۲۴	۱۶	$D_{4d}$ از مرتبه ۱۶	$4{\sqrt {3}}$	۶٫۹۲۸۲	${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}{3}}$	۱٫۴۲۸۴
۱۸	گنبد مثلثی کشیده		۱۵	۲۷	۱۴	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	$9+{\frac {5}{2}}{\sqrt {3}}$	۱۳٫۳۳۰۱	${\frac {5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{6}}$	۳٫۷۷۶۶
۱۹	گنبد مربعی کشیده		۲۰	۳۶	۱۸	$C_{4v}$ از مرتبه ۸	$15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$	۱۹٫۵۶۰۵	$3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}$	۶٫۷۷۱۲
۲۰	گنبد پنج‌ضلعی کشیده		۲۵	۴۵	۲۲	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$15+{\frac {5{\sqrt {3}}+10{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۲۶٫۵۷۹۸	${\frac {5+4{\sqrt {5}}+15{\sqrt {\alpha }}}{6}}$	۱۰٫۰۱۸۳
۲۱	گرد پنج‌ضلعی کشیده		۳۰	۵۵	۲۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$10+{\frac {5{\sqrt {3}}+5{\sqrt {\alpha }}+3{\sqrt {5\alpha }}}{2}}$	۳۲٫۳۴۷۲	${\frac {45+17{\sqrt {5}}+30{\sqrt {\alpha }}}{12}}$	۱۴٫۶۱۲
۲۲	گنبد مثلثی چرخش‌کشیده		۱۵	۳۳	۲۰	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	$3+{\frac {11}{2}}{\sqrt {3}}$	۱۲٫۵۲۶۳	${\frac {1}{3}}{\sqrt {{\frac {61}{2}}+18{\sqrt {3}}+30{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}$	۳٫۵۱۶۱
۲۳	گنبد مربعی چرخش‌کشیده		۲۰	۴۴	۲۶	$C_{4v}$ از مرتبه ۸	$7+2{\sqrt {2}}+5{\sqrt {3}}$	۱۸٫۴۸۸۷	$1+{\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}$	۶٫۲۱۰۸
۲۴	گنبد پنج‌ضلعی چرخش‌کشیده		۲۵	۵۵	۳۲	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$5+{\frac {25{\sqrt {3}}+10{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۲۵٫۲۴۰۰	${\frac {5}{6}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {145\alpha -75}}-2{\sqrt {5}}-2}}$	۹٫۰۷۳۳
۲۵	گرد پنج‌ضلعی چرخش‌کشیده		۳۰	۶۵	۳۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	${\frac {15{\sqrt {3}}+\left(\alpha +{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\alpha }}}{2}}$	۳۱٫۰۰۷۵	${\frac {45+17{\sqrt {5}}+10{\sqrt {2{\sqrt {145\alpha -75}}-2{\sqrt {5}}-2}}}{12}}$	۱۳٫۶۶۷۱
۲۶	جیروبیفاستیجیوم		۸	۱۴	۸	$D_{2d}$ از مرتبه ۸	$4+{\sqrt {3}}$	۵٫۷۳۲۱	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	۰٫۸۶۶۰
۲۷	دوگنبد مثلثی راست		۱۲	۲۴	۱۴	$D_{3h}$ از مرتبه ۱۲	$6+2{\sqrt {3}}$	۹٫۴۶۴۱	${\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}$	۲٫۳۵۷۰
۲۸	دوگنبد مربعی راست		۱۶	۳۲	۱۸	$D_{4h}$ از مرتبه ۱۶	$10+2{\sqrt {3}}$	۱۳٫۴۶۴۱	$2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}$	۳٫۸۸۵۶
۲۹	دوگنبد مربعی چرخشی		۱۶	۳۲	۱۸	$D_{4d}$ از مرتبه ۱۶
۳۰	دوگنبد پنج‌ضلعی راست		۲۰	۴۰	۲۲	$D_{5h}$ از مرتبه ۲۰	$10+{\frac {\sqrt {75+5\alpha +10{\sqrt {15\alpha }}}}{2}}$	۱۷٫۷۷۱۱	${\frac {5+4{\sqrt {5}}}{3}}$	۴٫۶۴۸۱
۳۱	دوگنبد پنج‌ضلعی چرخشی		۲۰	۴۰	۲۲	$D_{5d}$ از مرتبه ۲۰
۳۲	گنبد-گرد پنج‌ضلعی راست		۲۵	۵۰	۲۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$5+{\frac {\sqrt {675+245\alpha +210{\sqrt {15\alpha }}}}{4}}$	۲۳٫۵۳۸۵	${\frac {55+25{\sqrt {5}}}{12}}$	۹٫۲۴۱۸
۳۳	گنبد-گرد پنج‌ضلعی چرخشی		۲۵	۵۰	۲۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$5+{\frac {15}{4}}{\sqrt {3}}+{\frac {7}{4}}{\sqrt {5\alpha }}$	۲۳٫۵۳۸۵
۳۴	دوگرد پنج‌ضلعی راست		۳۰	۶۰	۳۲	$D_{5h}$ از مرتبه ۲۰	$5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}$	۲۹٫۳۰۶	${\frac {45+17{\sqrt {5}}}{6}}$	۱۳٫۸۳۵۵
۳۵	دوگنبد مثلثی راست کشیده		۱۸	۳۶	۲۰	$D_{3h}$ از مرتبه ۱۲	$12+2{\sqrt {3}}$	۱۵٫۴۶۴۱	${\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	۴٫۹۵۵۱
۳۶	دوگنبد مثلثی چرخشی کشیده		۱۸	۳۶	۲۰	$D_{3d}$ از مرتبه ۱۲
۳۷	دوگنبد مربعی چرخشی کشیده		۲۴	۴۸	۲۶	$D_{4d}$ از مرتبه ۱۶	$18+2{\sqrt {3}}$	۲۱٫۴۶۴۱	$4+{\frac {10{\sqrt {2}}}{3}}$	۸٫۷۱۴
۳۸	دوگنبد پنج‌ضلعی راست کشیده		۳۰	۶۰	۳۲	$D_{5h}$ از مرتبه ۲۰	$20+{\frac {\sqrt {75+5\alpha +10{\sqrt {15\alpha }}}}{2}}$	۲۷٫۷۷۱۱	${\frac {10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {\alpha }}}{6}}$	۱۲٫۳۴۲۳
۳۹	دوگنبد پنج‌ضلعی چرخشی کشیده		۳۰	۶۰	۳۲	$D_{5d}$ از مرتبه ۲۰
۴۰	گنبد-گرد پنج‌ضلعی راست کشیده		۳۵	۷۰	۳۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	$15+{\frac {\sqrt {675+245\alpha +210{\sqrt {15\alpha }}}}{4}}$	۳۳٫۵۳۸۵	${\frac {55+25{\sqrt {5}}+30{\sqrt {\alpha }}}{12}}$	۱۶٫۹۳۶
۴۱	گنبد-گرد پنج‌ضلعی چرخشی کشیده		۳۵	۷۰	۳۷	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰
۴۲	دوگرد پنج‌ضلعی راست کشیده		۴۰	۸۰	۴۲	$D_{5h}$ از مرتبه ۲۰	$10+{\sqrt {75+45\alpha +30{\sqrt {15\alpha }}}}$	۳۹٫۳۰۶	${\frac {45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {\alpha }}}{6}}$	۲۱٫۵۲۹۷
۴۳	دوگرد پنج‌ضلعی چرخشی کشیده		۴۰	۸۰	۴۲	$D_{5d}$ از مرتبه ۲۰
۴۴	دوگنبد مثلثی چرخش‌کشیده		۱۸	۴۲	۲۶	$D_{3}$ از مرتبه ۶	$6+5{\sqrt {3}}$	۱۴٫۶۶۰۳	${\frac {5}{3}}{\sqrt {2}}+{\sqrt {2+2{\sqrt {3}}}}$	۴٫۶۹۴۶
۴۵	دوگنبد مربعی چرخش‌کشیده		۲۴	۵۶	۳۴	$D_{4}$ از مرتبه ۸	$10+6{\sqrt {3}}$	۲۰٫۳۹۲۳	$2+{\frac {4}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}$	۸٫۱۵۳۶
۴۶	دوگنبد پنج‌ضلعی چرخش‌کشیده		۳۰	۷۰	۴۲	$D_{5}$ از مرتبه ۱۰	$10+{\frac {15}{2}}{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5\alpha }}$	۲۶٫۴۳۱۳	${\frac {5+4{\sqrt {5}}}{3}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {145\alpha -75}}-\alpha +3}}$	۱۱٫۳۹۷۴
۴۷	گنبد-گرد پنج‌ضلعی چرخش‌کشیده		۳۵	۸۰	۴۷	$C_{5}$ از مرتبه ۵	$5+{\frac {7}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}\right)$	۳۲٫۱۹۸۸	${\frac {55+25{\sqrt {5}}}{12}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {145\alpha -75}}-\alpha +3}}$	۱۵٫۹۹۱۱
۴۸	دوگرد پنج‌ضلعی چرخش‌کشیده		۴۰	۹۰	۵۲	$D_{5}$ از مرتبه ۱۰	$10{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}$	۳۷٫۹۶۶۲	${\frac {45+17{\sqrt {5}}+5{\sqrt {2{\sqrt {145\alpha -75}}-\alpha +3}}}{6}}$	۲۰٫۵۸۴۸
۴۹	منشور مثلثی افزوده		۷	۱۳	۸	$C_{2v}$ از مرتبه ۴	$2+{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}$	۴٫۵۹۸۱	${\frac {\sqrt {2}}{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	۰٫۶۶۸۷
۵۰	منشور مثلثی دوافزوده		۸	۱۷	۱۱	$C_{2v}$ از مرتبه ۴	$1+{\frac {5}{2}}{\sqrt {3}}$	۵٫۳۳۰۱	${\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}$	۰٫۹۰۴۴
۵۱	منشور مثلثی سه‌افزوده		۹	۲۱	۱۴	$D_{3h}$ از مرتبه ۱۲	${\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}$	۶٫۰۶۲۲	${\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}$	۱٫۱۴۰۱
۵۲	منشور پنج‌ضلعی افزوده		۱۱	۱۹	۱۰	$C_{2v}$ از مرتبه ۴	$4+{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5\alpha }}$	۹٫۱۷۳	${\frac {1}{12}}{\sqrt {8+45\alpha +12{\sqrt {10\alpha }}}}$	۱٫۹۵۶۲
۵۳	منشور پنج‌ضلعی دوافزوده		۱۲	۲۳	۱۳	$C_{2v}$ از مرتبه ۴	$3+2{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5\alpha }}$	۹٫۹۰۵۱	${\frac {1}{12}}{\sqrt {32+45\alpha +24{\sqrt {10\alpha }}}}$	۲٫۱۹۱۹
۵۴	منشور شش‌ضلعی افزوده		۱۳	۲۲	۱۱	$C_{2v}$ از مرتبه ۴	$5+4{\sqrt {3}}$	۱۱٫۹۲۸۲	${\frac {\sqrt {2}}{6}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	۲٫۸۳۳۸
۵۵	منشور شش‌ضلعی دوافزوده موازی		۱۴	۲۶	۱۴	$D_{2h}$ از مرتبه ۸	$4+5{\sqrt {3}}$	۱۲٫۶۶۰۳	${\frac {\sqrt {2}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	۳٫۰۶۹۵
۵۶	منشور شش‌ضلعی دوافزوده متا		۱۴	۲۶	۱۴	$C_{2v}$ از مرتبه ۴
۵۷	منشور شش‌ضلعی سه‌افزوده		۱۵	۳۰	۱۷	$D_{3h}$ از مرتبه ۱۲	$3+6{\sqrt {3}}$	۱۳٫۳۹۲۳	${\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	۳٫۳۰۵۲
۵۸	دودکاهدرون افزوده		۲۱	۳۵	۱۶	$C_{5v}$ از مرتبه ۱۰	${\frac {5{\sqrt {3}}+11{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۲۱٫۰۹۰۳	${\frac {95+43{\sqrt {5}}}{24}}$	۷٫۹۶۴۶
۵۹	دودکاهدرون دوافزوده موازی		۲۲	۴۰	۲۰	$D_{5d}$ از مرتبه ۲۰	${\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}\right)$	۲۱٫۵۳۴۹	${\frac {25+11{\sqrt {5}}}{6}}$	۸٫۲۶۶۱
۶۰	دودکاهدرون دوافزوده متا		۲۲	۴۰	۲۰	$C_{2v}$ از مرتبه ۴
۶۱	دودکاهدرون سه‌افزوده		۲۳	۴۵	۲۴	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	${\frac {3}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}\right)$	۲۱٫۹۷۹۵	${\frac {5}{8}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)$	۸٫۵۶۷۶
۶۲	ایکوساهدرون دوکاهش‌یافته متا		۱۰	۲۰	۱۲	$C_{2v}$ از مرتبه ۴	${\frac {5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}}{2}}$	۷٫۷۷۱۱	${\frac {\alpha }{6}}$	۱٫۵۷۸۷
۶۳	ایکوساهدرون سه‌کاهش‌یافته		۹	۱۵	۸	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	${\frac {5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۷٫۳۲۶۵	${\frac {5}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}}$	۱٫۲۷۷۲
۶۴	افزوده‌شده ایکوساهدرون سه‌کاهش‌یافته		۱۰	۱۸	۱۰	$C_{3v}$ of order 6	${\frac {7{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۸٫۱۹۲۵	${\frac {15+2{\sqrt {2}}+7{\sqrt {5}}}{24}}$	۱٫۳۹۵۰
۶۵	افزوده‌شده چهاروجهی کوتاه‌شده		۱۵	۲۷	۱۴	$C_{3v}$ of order 6	$3+{\frac {13}{2}}{\sqrt {3}}$	۱۴٫۲۵۸۳	${\frac {11}{2{\sqrt {2}}}}$	۳٫۸۸۹۱
۶۶	افزوده‌شده مکعب کوتاه‌شده		۲۸	۴۸	۲۲	$C_{4v}$ of order 8	$15+10{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}$	۳۴٫۳۳۸۳	$8+{\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}$	۱۵٫۵۴۲۵
۶۷	دوافزوده‌شده مکعب کوتاه‌شده		۳۲	۶۰	۳۰	$D_{4h}$ of order 16	$18+8{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}}$	۳۶٫۲۴۱۹	$9+6{\sqrt {2}}$	۱۷٫۴۸۵۳
۶۸	افزوده‌شده دوازده‌وجهی کوتاه‌شده		۶۵	۱۰۵	۴۲	$C_{5v}$ of order 10	$5+{\frac {25{\sqrt {3}}+110{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۱۰۲٫۱۸۲۱	${\frac {505}{12}}+{\frac {81{\sqrt {5}}}{4}}$	۸۷٫۳۶۳۷
۶۹	دوافزوده‌شده موازی دوازده‌وجهی کوتاه‌شده		۷۰	۱۲۰	۵۲	$D_{5d}$ of order 20	$10+25{\sqrt {\alpha }}+{\frac {15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}}{2}}$	۱۰۳٫۳۷۳۴	${\frac {515+251{\sqrt {5}}}{12}}$	۸۹٫۶۸۷۸
۷۰	دوافزوده‌شده میانی دوازده‌وجهی کوتاه‌شده		۷۰	۱۲۰	۵۲	$C_{2v}$ of order 4
۷۱	سه‌افزوده‌شده دوازده‌وجهی کوتاه‌شده		۷۵	۱۳۵	۶۲	$C_{3v}$ of order 6	$15+{\frac {35{\sqrt {3}}+90{\sqrt {\alpha }}+3{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۱۰۴٫۵۶۴۸	${\frac {7}{12}}\left(75+37{\sqrt {5}}\right)$	۹۲٫۰۱۱۸
۷۲	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک چرخیده		۶۰	۱۲۰	۶۲	$C_{5v}$ of order 10	$30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}$	۵۹٫۳۰۶	$20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}$	۴۱٫۶۱۵۳
۷۳	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک دوچرخیده موازی		۶۰	۱۲۰	۶۲	$D_{5d}$ of order 20
۷۴	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک دوچرخیده میانی		۶۰	۱۲۰	۶۲	$C_{2v}$ of order 4
۷۵	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک سه‌چرخیده		۶۰	۱۲۰	۶۲	$C_{3v}$ of order 6
۷۶	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک کاهش‌یافته		۵۵	۱۰۵	۵۲	$C_{5v}$ of order 10	$25+{\frac {15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {\alpha }}+11{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۵۸٫۱۱۴۷	${\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}$	۳۹٫۲۹۱۳
۷۷	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک چرخیده‌کاهش‌یافته موازی		۵۵	۱۰۵	۵۲	$C_{5v}$ of order 10
۷۸	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک چرخیده‌کاهش‌یافته میانی		۵۵	۱۰۵	۵۲	$C_{s}$ of order 2
۷۹	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک دوچرخیده‌کاهش‌یافته		۵۵	۱۰۵	۵۲	$C_{s}$ of order 2
۸۰	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک دوکاهش‌یافته موازی		۵۰	۹۰	۴۲	$D_{5d}$ of order 20	$20+{\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+2{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {5\alpha }}\right)$	۵۶٫۹۲۳۳	${\frac {55+25{\sqrt {5}}}{3}}$	۳۶٫۹۶۷۲
۸۱	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک دوکاهش‌یافته میانی		۵۰	۹۰	۴۲	$C_{2v}$ of order 4
۸۲	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک چرخیده‌دوکاهش‌یافته		۵۰	۹۰	۴۲	$C_{s}$ of order 2
۸۳	بیست‌وجهی مشبک‌کوچک سه‌کاهش‌یافته		۴۵	۷۵	۳۲	$C_{3v}$ of order 6	$15+{\frac {5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {\alpha }}+9{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۵۵٫۷۳۲	${\frac {35}{2}}+{\frac {23{\sqrt {5}}}{3}}$	۳۴٫۶۴۳۲
۸۴	چهاروجهی دوگانه مشبک‌کوچک		۸	۱۸	۱۲	$D_{2d}$ of order 8	$3{\sqrt {3}}$	۵٫۱۹۶۲		۰٫۸۵۹۵
۸۵	پادمنشور مربعی مشبک‌کوچک		۱۶	۴۰	۲۶	$D_{4d}$ of order 16	$2+6{\sqrt {3}}$	۱۲٫۳۹۲۳		۳٫۶۰۱۲
۸۶	اسفنوکورونا		۱۰	۲۲	۱۴	$C_{2v}$ of order 4	$2+3{\sqrt {3}}$	۷٫۱۹۶۲	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}$	۱٫۵۱۵۴
۸۷	اسفنوکورونای افزوده‌شده		۱۱	۲۶	۱۷	$C_{s}$ of order 2	$1+4{\sqrt {3}}$	۷٫۹۲۸۲	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}$	۱٫۷۵۱۱
۸۸	اسفنومگاکورونا		۱۲	۲۸	۱۸	$C_{2v}$ of order 4	$2+4{\sqrt {3}}$	۸٫۹۲۸۲		۱٫۹۴۸۱
۸۹	هبه‌اسفنومگاکورونا		۱۴	۳۳	۲۱	$C_{2v}$ of order 4	$3+{\frac {9}{2}}{\sqrt {3}}$	۱۰٫۷۹۴۲		۲٫۹۱۲۹
۹۰	دیسفنوسینگولوم		۱۶	۳۸	۲۴	$D_{2d}$ of order 8	$4+5{\sqrt {3}}$	۱۲٫۶۶۰۳		۳٫۷۷۷۶
۹۱	دولوناروتوندا		۱۴	۲۶	۱۴	$D_{2h}$ of order 8	$2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\alpha }}$	۱۲٫۳۴۶	${\frac {17+9{\sqrt {5}}}{12}}$	۳٫۰۹۳۷
۹۲	چندوجهی هبه‌اسفنوروتوندای مثلثی		۱۸	۳۶	۲۰	$C_{3v}$ از مرتبه ۶	$3+{\frac {19{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\alpha }}}{4}}$	۱۶٫۳۸۸۷	${\frac {5}{2}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{6}}$	۵٫۱۰۸۷

منابع

• Araki, Yoshiaki; Horiyama, Takashi; Uehara, Ryuhei (2015). "Common Unfolding of Regular Tetrahedron and Johnson-Zalgaller Solid". In Rahman, M. Sohel; Tomita, Etsuji (eds.). WALCOM: Algorithms and Computation. Lecture Notes in Computer Science (in English). Vol. 8973. Cham: Springer International Publishing. pp. 294–305. doi:10.1007/978-3-319-15612-5_26. ISBN 978-3-319-15612-5.
• Berman، M. (۱۹۷۱). «Regular-faced convex polyhedra». Journal of the Franklin Institute. ۲۹۱ (۵): ۳۲۹–۳۵۲. بیبکد:1971FrInJ.291..329B. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Cromwell، P. R. (۱۹۹۷). Polyhedra. انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک ۹۷۸-۰-۵۲۱-۶۶۴۰۵-۹.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Diudea، M. V. (۲۰۱۸). Multi-shell Polyhedral Clusters. Carbon Materials: Chemistry and Physics. ج. ۱۰. Springer. doi:10.1007/978-3-319-64123-2. شابک ۹۷۸-۳-۳۱۹-۶۴۱۲۳-۲.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Suk، J.؛ Zitofa، T.؛ Zitofa، B. (۲۰۱۷). 2D and 3D Image Analysis by Moments. جان وایلی و پسران. شابک ۹۷۸-۱-۱۱۹-۰۳۹۳۵-۸.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Geilhufe، W.؛ Geilhufe، M. (۲۰۱۸). Group Theory in Solid State Physics and Photonics: Problem Solving with Mathematica. جان وایلی و پسران. شابک ۹۷۸-۳-۵۲۷-۴۱۳۰۰-۳.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Johnson، N. (۱۹۶۶). «Convex Solids with Regular Faces». مجلهٔ کانادایی ریاضیات. ۱۸: ۱۶۹–۲۰۰. doi:10.4153/CJM-1966-021-8.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Parker، S. P. (۱۹۹۷). Dictionary of Mathematics. مک‌گرا-هیل اجوکیشن. شابک ۹۷۸-۰-۰۷-۰۵۲۴۳۳-۰.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Powell، R. C. (۲۰۱۰). Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals. Lecture Notes in Physics. ج. ۸۲۴. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7598-0. شابک ۹۷۸-۱-۴۴۱۹-۷۵۹۸-۰.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Rajwade، A. R. (۲۰۰۱). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-06-4. شابک ۹۷۸-۹-۳۸۶-۲۷۹۰۶-۴.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Solomon، R. (۲۰۰۳). Abstract Algebra. انجمن ریاضی آمریکا. شابک ۹۷۸-۰-۸۲۱۸-۴۷۹۵-۴.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Obradović، M.؛ Ðukanović، M.؛ Ðukanović، G. (۲۰۱۵). «Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms» (PDF). Journal for Geometry and Graphics. ۱۹ (۱): ۷۹–۹۱.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Timofeenko، A. V. (۲۰۰۹). «The Non-Platonic and Non-Archimedean Noncomposite Polyhedra». Journal of Mathematical Sciences. ۱۶۲ (۵): ۷۱۰–۷۲۹. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Todesco، G. M. (۲۰۲۰). «Hyperbolic Honeycomb». در Emmer، M.؛ Abate، M. (ویراستاران). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-030-42653-8. شابک ۹۷۸-۳-۰۳۰-۴۲۶۵۳-۸.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Uehara، R. (۲۰۲۰). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. شابک ۹۷۸-۹-۸۱۱-۵۴۴۷۰-۵.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Walsh، E. T. (۲۰۱۴). A First Course in Geometry. Dover. شابک ۹۷۸-۰-۴۸۶-۷۸۰۲۰-۷.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Williams، K.؛ Monteleone، C. (۲۰۲۱). Daniele Barbaro's Perspective of 1568. Springer. doi:10.1007/978-3-030-76687-0. شابک ۹۷۸-۳-۰۳۰-۷۶۶۸۷-۰.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Zalgaller، V. A. (۱۹۶۹). Convex Polyhedra with Regular Faces. Springer. شابک ۹۷۸-۱-۴۸۹۹-۵۶۷۱-۲.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of Johnson solids». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۷ ژوئن ۲۰۲۶.

پیوند به بیرون

• Hart، George W. «Johnson Solids».
• Bulatov، Vladimir. «Johnson solids». – مدل‌های VRML اجسام جانسون
• Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم] (PDF). Topologie Structurale [توپولوژی ساختاری] (in French) (6): 83–95.