قاعده جمع

اگر تابع (h(x) = f(x) + g(x را در نظر بگیریم و فرض کنیم که f و g در هر نقطه‌ای مانند x مشتق پذیر هستند. آنگاه باید ثابت کرد که تابع h در x مشتق‌پذیر است و مشتق آن تابعی مانند (h'(x می‌باشد که از (f'(x)+g'(x حاصل شده‌است.

${\displaystyle h'(x)=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}}$

${\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)+g(x+a)]-[f(x)+g(x)]}{a}}}$

${\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)+g(x+a)-g(x)}{a}}}$

${\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}+\lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}}$

${\displaystyle =f'(x)+g'(x)}$

اگر تابع y از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد:

${\displaystyle y=u+v\,}$

اگر y, u و v با اندک افزایش Δy, Δu و Δv، افزایش یابند آنگاه به ترتیب داریم:

${\displaystyle y+\Delta {y}=(u+\Delta {u})+(v+\Delta {v})=u+v+\Delta {u}+\Delta {v}=y+\Delta {u}+\Delta {v}.\,}$

بنابراین:

${\displaystyle \Delta {y}=\Delta {u}+\Delta {v}.\,}$

و حالا با تقسیم Δx بر دو طرف معادله داریم:

${\displaystyle {\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}.}$

و اگر Δx به ۰ میل کند:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}$

با در نظرف گرفتن y = u + v , مشتق جمع می‌دهد:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u+v\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}$

می‌توان روش را برای تفریق نیز بسط داد:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {d}{dx}}\left(u+(-v)\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {d}{dx}}\left(-v\right).}$

و با لحاظ کردن ضریب k=−۱ داریم:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {du}{dx}}+\left(-{\frac {dv}{dx}}\right)={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}.}$

بنابراین قانون برای جمع و تفریق این‌گونه تعریف می‌شود:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u\pm v\right)={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}.}$