قانون روفینی

قانون روفینی در ریاضیات عبارت است از روشی کاربردی در تقسیم یک چندجمله‌ای بر یک دوجمله‌ای به شکل x-r. این قانون نخستین بار از سوی پائولو روفینی در ۱۸۰۴ پیشنهاد شد. قانون روفینی حالت خاصی از تقسیم ترکیبی (Synthetic division) برای وقتی است که تقسیم‌کننده خطی باشد.^[۱]

این قانون راهی برای تقسیم یک چندجمله‌ای مانند

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

بر یک دوجمله‌ای مانند

${\displaystyle Q(x)=x-r}$

پیشنهاد می‌دهد تا خارج قسمتی چند جمله ای به شکل زیر بدست آید:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$

برای تقسیم P(x) بر Q(x) باید:

1. ضرایب P(x) را به ترتیب در جدولی بنویسید سپس r را در سمت چپ کمی پایین تر اما بالای خط بنویسید:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. ضریب انتهایی در سمت چپ (a_n) را زیر خط بنویسید.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. عدد آخر زیر خط را در r ضرب کنید و بالای خط و در خانهٔ کناری بنویسید.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. دو مقدار موجود در یک خانه را با هم جمع کنید و در همان ستون زیر خط بنویسید.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

5. گام‌های سه و چهار را آنقدر تکرار کنید تا هیچ عددی باقی نماند.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}}$

مقادیر b ضرایب چندجمله ای حاصل (R(x)) اند که درجه اش یک درجه از P(x) کمتر است.