قانون کسینوس‌ها

مثلثات
تاریخ کاربرد توابع (توابع معکوس) مثلثات تعمیم‌یافته مطالعه بیشتر
منابع
اتحادها مقدارهای دقیق جدول‌ها دایره واحد
قوانین و قضایا
قانون سینوس‌ها قانون کسینوس‌ها قانون تانژانت‌ها قانون کتانژانت‌ها قضیه فیثاغورس
حساب دیفرانسیل و انتگرال
جانشینی مثلثاتی انتگرال توابع (انتگرال توابع وارون) مشتق توابع

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود؛ تعمیم قضیه فیثاغورس است. قانون کسینوس‌ها برای بدست آوردن طول یک ضلع مثلث کاربرد دارد و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,}$

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ),\,}$

${\displaystyle \cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ .\,}$

چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‌بینیم.

• حالت زاویه باز:

در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‌ایم.

${\displaystyle a^{2}=d^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+a^{2},d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos(\gamma )}$

${\displaystyle c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}}$

• حالت زاویه تند:

${\displaystyle c^{2}=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}\sin ^{2}(\gamma ),cos^{2}(\gamma )+sin^{2}(\gamma )=1}$

${\displaystyle c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}}$

• فرمول‌های مهم مثلثات
• مثلثات
• قانون سینوس‌ها
• قانون تانژانت‌ها

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Law of cosines». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ می ۲۰۱۱.

ویکی‌کتاب دارای کتابی پیرامون موضوع توابع مثلثاتی/قانون کسینوس‌ها است

• An Excellent Tutorial on the Law of Cosines From PlainMath.Net
• Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot