قضیه کوشی

هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته[a,b] پیوسته و در (a,b) مشتق‌پذیر باشند و $g^{\prime }(x)$ به ازای هر x عضو (a,b) ناصفر باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a,b هست که:

{\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}

اثبات

ابتدا تابع h را به شکل زیر تعریف می‌کنیم که تمام خواص تابع f را نیز دارد : ‎h(x)=f(x)-k g(x)‎

حال اگر k را برابر ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$ فرض کنیم خواهیم داشت :

$h(a)={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}$

$h(b)={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}$

پس $h(a)=h(b)$ که بر طبق قضیه رول وجود دارد c متعلق به بازه (a,b) که $h^{\prime }(c)=0$ ؛ پس :

$f^{\prime }(c)=kg^{\prime }(c)\Rightarrow \ {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}=k$

که با قرار دادن مقدار k داریم :

{\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}

منابع

حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد اول )، دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384 ، شابک ‎۹۶۴−۸۰۲۰−۴۷−۷