قضیه گیرسانوف

قضیه گیرسانوف، که به قضیه کامرون-مارتین-گیرسانوف نیز موسوم است، قاعده ایست وابسته به حساب کاتوره‌ای و معادلات دیفرانسیل کاتوره‌ای (SDE). این قضیه ارتباط میان توزیع احتمال دو معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای را بیان می‌دارد. این قضیه در نظریه کنترل بهینه کاتوره‌ای، ریاضیات مالی و حساب مالیاوین کاربرد دارد.

دو معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای زیر، با توزیع احتمالهای ${\displaystyle \mathbb {P} }$ و ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، را درنظر بگیرید.

$${\displaystyle \mathbb {P}$$ :~dX_{t}=dw_{t},\qquad \qquad \mathbb {Q} :~dX_{t}=a(X_{t},t)dt+dw_{t}} در این صورت داریم ^[۱]:

$${\displaystyle E_{\mathbb {Q} }{\big \{}f(X_{T}){\big \}}=E_{\mathbb {P} }{\Big \{}{\frac {d\mathbb {Q} }{d\mathbb {P} }}f(X_{T}){\Big \}},\qquad (A1)}$$که در آن ${\displaystyle {\frac {d\mathbb {Q} }{d\mathbb {P} }}}$ مشتق رادون-نیکودیم بوده و برای آن داریم:$${\displaystyle {\frac {d\mathbb {Q} }{d\mathbb {P} }}=\exp {\Bigg \{}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}a(X_{t})^{2}dt-\int _{0}^{T}a(X_{t})dw_{t}{\Bigg \}},\qquad (A2)}$$

اثبات: با گسسته‌سازی ${\displaystyle [0,T]=\bigcup _{i=1}^{N}{\big \{}[t_{i},t_{i+1}]{\big \}}}$، بر طبق SDE اول داریم:$${\displaystyle {\hat {\mathbb {P} }}=P_{\mathbb {P} }(X_{0},\ldots ,X_{t_{i}},X_{t_{i+1}},\ldots ,X_{t_{N}})}$$$${\displaystyle =\prod _{i=1}^{N}P(X_{t_{i+1}}|X_{t_{i}})=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \Delta t}}}\exp {\big \{}(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}})^{2}/(2\Delta t){\big \}}=({\frac {1}{\sqrt {2\pi \Delta t}}})^{N}\exp {\Big \{}\sum _{i=1}^{N}(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}})^{2}/(2\Delta t){\Big \}}}$$

از طرف دیگر برای SDE دوم می توان نوشت:$${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=P_{\mathbb {Q} }(X_{0},\ldots ,X_{t_{i}},X_{t_{i+1}},\ldots ,X_{t_{N}})=\prod _{i=1}^{N}P(X_{t_{i+1}}|X_{t_{i}})}$$$${\displaystyle =\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \Delta t}}}\exp {\big \{}(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}-a(X_{t_{i}})\Delta t)^{2}/(2\Delta t){\big \}}=({\frac {1}{\sqrt {2\pi \Delta t}}})^{N}\exp {\Big \{}\sum _{i=1}^{N}(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}-a(X_{t_{i}})\Delta t)^{2}/(2\Delta t){\Big \}}}$$

بنابراین داریم:$${\displaystyle {\frac {\hat {\mathbb {Q} }}{\hat {\mathbb {P} }}}=\exp {\Big \{}{\frac {1}{2\Delta t}}\sum _{i=1}^{N}{\big (}X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}-a(X_{t_{i}})\Delta t){\big )}^{2}-(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}})^{2}{\Big \}}}$$$${\displaystyle =\exp {\Big \{}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}a(X_{t_{i}})^{2}\Delta t-2(X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}})a(X_{t_{i}}){\Big \}}{\overset {(a)}{=}}\exp {\Big \{}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}a(X_{t_{i}})^{2}\Delta t-\Delta w_{t_{i}}a(X_{t_{i}}){\Big \}}=\exp {\Big \{}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}a(X_{t})^{2}dt-\int _{0}^{T}a(X_{t})dw_{t}{\Big \}}}$$برای تساوی (a) به این نکته مهم توجه شود که ${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} }{\mathbb {P} }}}$ نسبت به توزیع احتمال ${\displaystyle \mathbb {P} }$ نوشته شد، که در نتیجه آن ${\displaystyle X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}=\Delta w_{i}}$. با قراردادن ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ رابطه (A2) بدست می آید. سپس از آنجا که:$${\displaystyle E_{\mathbb {Q} }\{f(X_{t})\}=\int f(X_{t}){\frac {d\mathbb {Q} }{d\mathbb {P} }}d\mathbb {P} =E_{\mathbb {P} }{\Big \{}f(X_{t}){\frac {d\mathbb {Q} }{d\mathbb {P} }}{\Big \}}}$$نتیجه (A1) بدست می آید.

1. ↑ Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1.