ماتریس یک‌ها

در ریاضیات، ماتریس یک‌ها ماتریسی است که در آن همه‌ی درایه‌ها برابر با عدد یک است.^[۱] مثال‌هایی از اینگونه ماتریس‌ها:

J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad

ویژگی‌ها

$J_{n,n}$ را یک ماتریس $n \times n$ از یک‌ها در نظر بگیرید، خواص زیر را برای J داریم :

اثر J برابر n است^[۲]، همچنین تنها زمانی دترمینان ناصفر (در اینجا برابر ۱) است که n برابر ۱ باشد ، در غیر این صورت دترمینان برابر صفر می‌شود.
چند جمله‌ای مشخصه J برابر $(x-n)x^{n-1}$ است.
رتبه J برابر ۱ است و دو مقدار ویژه دارد، یکی n با مرتبه تکرار 1 و دیگری 0 با مرتبه تکرار $n - 1$ .^[۳]
برای هر $k=1,2,\ldots .$ داریم $J^{k}=n^{k-1}J$ . ^[۴]
در ضرب هادامار، J عنصر خنثی است .^[۵]

اگر J را به عنوان یک ماتریس در اعداد حقیقی بررسی کنیم، ویژگی‌های زیر نیز برقرارند :

ماتریس ${\tfrac {1}{n}}J$ ماتریسی خودتوان است .^[۴]
ماتریس نمایی J برابر $\exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J$ است .

کاربردها

ماتریس یک‌ها در زمینه ترکیبیات کاربردهایی دارند، به طور خاص‌تر در استفاده از روش‌های جبری برای نظریه گراف . به عنوان مثال، اگر A ماتریس همسایگی گراف n-راسی و بدون جهت G و J ماتریس یک‌ها از همان بُعد باشند، آنگاه G یک گراف منتظم است اگر و تنها اگر AJ = JA .^[۶]

جستارهای وابسته

ماتریس صفر ، ماتریسی که در آن همه‌ی درایه‌ها صفر هستند.
ماتریس تک ورودی

منابع

↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 The all-ones matrix and vector", Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402
↑ Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988.
↑ (Stanley 2013); (Horn و Johnson 2012), p. 65.
1 2 Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719.
↑ Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721.
↑ Godsil, Chris (1993), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310.

[1] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 The all-ones matrix and vector", Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402

[2] Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988.

[3] (Stanley 2013); (Horn و Johnson 2012), p. 65.

[timm-4] 1 2 Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719.

[5] Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721.

[6] Godsil, Chris (1993), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]