مرتبه ضربی

مرتبهٔ عدد ${\displaystyle \;a}$ در مبنای عدد ${\displaystyle \;n}$ به صورت ${\displaystyle \;ord_{n}a}$ (اُردر ${\displaystyle \;a}$ در مبنای ${\displaystyle \;n}$) نشان داده می‌شود و برابر است با کوچک‌ترین عدد طبیعی ${\displaystyle \;d}$ است که ${\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}}$. اما دقت شود که مرتبه تنها هنگامی قابل تعریف است که ${\displaystyle \;a}$ و ${\displaystyle \;n}$ نسبت به هم اول باشند.^[۱]

${\displaystyle \;ord{}_{7}2=3\quad }$

زیرا

${\displaystyle 2^{3}\equiv 1{\pmod {7}}\quad }$

در حالی که

${\displaystyle 2^{1}\not \equiv 1{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 2^{2}\not \equiv 1{\pmod {7}}}$

در قضایای زیر فرض شده است ${\displaystyle \;(a,n)=1}$

• اگر ${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$ آنگاه حتماً ${\displaystyle \mathrm {ord} _{n}a\mid m}$
• اگر ${\displaystyle \varphi (n)}$ تابع فی اویلر باشد، آنگاه ${\displaystyle ord_{n}a\mid \varphi (n)}$
• اگر قرار دهیم ${\displaystyle \;d=ord_{n}a}$ آنگاه اعداد ${\displaystyle \;a^{0},a^{1},a^{2},a^{3},...,a^{d-1}}$ دو به دو به پیمانه ${\displaystyle \;n}$ متمایز خواهند بود.