فاصله

به طول کوتاه‌ترین خط بین دو نقطهٔ ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ فاصلهٔ اقلیدسی (با نماد ${\displaystyle {\overline {AB}}}$^[۱]) گفته می‌شود.

در هندسهٔ تحلیلی فاصلهٔ بین دو نقطهٔ ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ را می‌توان به کمک قضیهٔ فیثاغورث پیدا کرد که به فرمول زیر می‌رسد:^[۲]

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}}}}$

این فرمول را می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}$ و ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}$:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(\Delta A_{i})^{2}}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+(A_{2}-B_{2})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}}$

نام این نوع فاصله از منهتن در نیویورک آمریکا الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّه‌های آنجا بلوک‌بندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.

فاصلهٔ منهتنی دو نقطهٔ ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ (با نماد ${\displaystyle d_{1}}$) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {d_{1}} (A,B)=\left\vert \Delta x\right\vert +\left\vert \Delta y\right\vert }$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

این نوع فاصله به این دلیل شطرنجی نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبت‌های مورد نیاز شاه برای رسیدن به مقصدش می‌باشد.

فاصلهٔ شطرنجی دو نقطهٔ ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ (با نماد ${\displaystyle d_{1}}$) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {d_{\infty }} (A,B)=\max\{\Delta x,\Delta y\}}$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

در فضای ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ فاصلهٔ مینکوفسکی از مرتبهٔ ${\displaystyle p}$ (یا p-نُرم با نماد ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}}$) بین دو نقطهٔ ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}$ و ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}-B_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$

فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (${\displaystyle \mathrm {d} _{2}}$) هستند.