معادله مکعبی

در ریاضیات، به معادلات جبری به شکل ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ با فرض ${\displaystyle a\neq 0}$ معادلهٔ درجهٔ سه گویند. راه‌های مختلفی برای حل معادلات درجهٔ سه وجود دارد. طبق قضیه آبل-روفینی، ریشهٔ توابع جبری تا درجهٔ ۴ (و نه بالاتر) همواره به صورت جبری، یعنی با فرمول‌هایی شامل ریشه‌های دوم و سوم، قابل یافتن است. همچنین می‌توان ریشه‌ها را به صورت مثلثاتی نیز محاسبه کرد. روش‌های عددی مانند روش نیوتن نیز برای یافتن ریشه‌ها کاربرد دارند.

معادلات درجهٔ سوم در دوران یونان باستان توسط دیوفانت شناخته شده بود.^[۱] پیش از آن، ریاضی‌دانان بابِل نیز توانستند برخی معادلات درجهٔ سوم را حل کنند.^[۲] همچنین در مصر باستان مسئلهٔ تضعیف مکعب ساده‌ترین و قدیمی‌ترین معادلهٔ درجه سوم بود که مصریان حل آن را غیرممکن می‌دانستند.^[۳] در قرن هفتم میلادی، منجم چین، وانگ سیائوتونگ (Wang Xiaotong)، توانست ۲۵ معادله درجهٔ سوم به فرم ${\displaystyle x^{3}+px^{2}+qx=N}$ استخراج و حل کند. در ۲۳ مورد، ${\displaystyle p,q\neq 0}$ و در دو مورد دیگر ${\displaystyle q=0}$ بود.^[۴] در قرن یازدهم، خیام، ریاضی‌دان و شاعر ایرانی، به پیشرفت گسترده‌ای در نظریهٔ معادلات درجه سوم دست یافت. او نشان داد که یک معادلهٔ درجه سوم می‌تواند بیش از یک ریشه داشته باشد و برای برخی معادلات، راه‌حل هندسی با استفاده از مقاطع مخروطی ارائه کرد.^[۵][۶] خیام معادلات درجه سوم را در حالت کلی طبقه‌بندی و راه‌حل عمومی هندسی ارائه نمود.^[۷] در قرن دوازدهم، ریاضی‌دان هندی بهاسکارا نیز برای یافتن جواب این معادلات تلاش کرد ولی به راه‌حل عمومی نرسید. همچنین، شرف‌الدین طوسی در کتاب المعادلات، ۸ نوع معادله با جواب مثبت و ۵ نوع بدون جواب مثبت را بررسی نمود و از روشی شبیه روش روفینی-هورنر برای حل عددی استفاده کرد.

معادلهٔ درجه سوم به شکل کلی زیر است:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ با شرط ${\displaystyle a\neq 0}$.

در این روش ابتدا معادله را به فرم استاندارد زیر در می‌آوریم:

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$

مراحل حل به شرح زیر است:

1. تابع سمت چپ معادله را ${\displaystyle y}$ می‌نامیم و مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

${\displaystyle y(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c,\quad y''(x)=6x+2a}$ ریشهٔ مشتق دوم را ${\displaystyle x_{d}}$ می‌نامیم: ${\displaystyle x_{d}=-{\frac {a}{3}}}$

1. مقادیر ${\displaystyle y(x_{d})}$ و ${\displaystyle y'(x_{d})}$ را محاسبه می‌کنیم:

${\displaystyle y_{d}=y(x_{d}),\quad y'_{d}=y'(x_{d})}$

1. پارامترهای ${\displaystyle v}$ و ${\displaystyle u}$ را می‌یابیم:

${\displaystyle v=-{\frac {y_{d}}{2}},\quad u={\frac {y'_{d}}{3}}}$

1. سپس ریشهٔ اول را با فرمول زیر به دست می‌آوریم:

${\displaystyle x_{1}=x_{d}+{\sqrt[{3}]{v+{\sqrt {v^{2}+u^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{v-{\sqrt {v^{2}+u^{3}}}}}}$

1. پس از محاسبهٔ ریشهٔ اول، دو ریشهٔ دیگر را با تقسیم معادله بر ${\displaystyle (x-x_{1})}$ و حل معادلهٔ درجه دوم حاصل، پیدا می‌کنیم:

${\displaystyle {\frac {y(x)}{x-x_{1}}}=0\Rightarrow x_{2},x_{3}}$

• ویکی انگلیسی
• Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, 1983
• Numerical Recipes in Fortran 77, William H. Press & William T. Vetterling, Cambridge University Press, 1992
• MacTutor History of Mathematics archive: Omar Khayyam

1. ↑ Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
2. ↑ British Museum BM 85200
3. ↑ (Guilbeau 1930، ص. 8)
4. ↑ Mikami, Yoshio (1974) [1913], "Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations", The Development of Mathematics in China and Japan (2nd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., pp. 53–56, ISBN 978-0-8284-0149-4
5. ↑ A paper of Omar Khayyam, Scripta Math., 26 (1963), pp. 323–337
6. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Omar Khayyam", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
7. ↑ (Guilbeau 1930، ص. 9)
8. ↑ Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X.
9. ↑ Output of Maple's function "solve".