میانگین حسابی-هندسی

این مقاله دربارهٔ نوع خاصی از میانگین است. برای نابرابری با نام مشابه، نابرابری میانگین حسابی-هندسی را ببینید.

نمودار میانگین حسابی-هندسی $\operatorname {agm} (1,x)$ در میان چندین میانگین تعمیم‌یافته.

در ریاضیات، میانگین حسابی-هندسی (AGM یا agM) برای دو عدد حقیقی مثبت x و y، حد مشترک دنباله‌ای از میانگین حسابی‌ها و دنباله‌ای از میانگین هندسی‌ها است. میانگین حسابی-هندسی در الگوریتم‌های سریع برای توابع نمایی، توابع مثلثاتی و سایر توابع خاص، و همچنین برخی ثابت ریاضی، به‌ویژه محاسبه π استفاده می‌شود.

میانگین حسابی-هندسی به عنوان حد دنباله‌های وابسته به یکدیگر $a_{i}$ و $g_{i}$ تعریف می‌شود. با فرض $x\geq y\geq 0$، داریم:$${\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}$$

این دو دنباله به یک عدد واحد همگرا می‌شوند که همان میانگین حسابی-هندسی x و y است؛ این مقدار با M(x, y) و گاهی با agm(x, y) یا AGM(x, y) نمایش داده می‌شود.

میانگین حسابی-هندسی را می‌توان به اعداد مختلط تعمیم داد و هنگامی که اجازه داده شود شاخه‌های ریشه دوم به‌طور ناسازگار انتخاب شوند، این میانگین به یک تابع چندمقداری تبدیل می‌شود.

مثال

برای یافتن میانگین حسابی-هندسی a₀ = ۲۴ و g₀ = ۶، به صورت زیر تکرار کنید:

$${\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}$$پنج تکرار اول مقادیر زیر را به دست می‌دهند:

۲۴	۶
15	12
13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

تعداد ارقامی که در آن‌ها a_n و g_n توافق دارند (زیرخط‌دار) با هر تکرار تقریباً دو برابر می‌شود. میانگین حسابی-هندسی ۲۴ و ۶، حد مشترک این دو دنباله است که تقریباً برابر با ۷۰۰۱۱۳۴۵۸۱۷۱۴۸۱۷۲۵۶♠۱۳٫۴۵۸۱۷۱۴۸۱۷۲۵۶۱۵۴۲۰۷۶۶۸۱۳۱۵۶۹۷۴۳۹۹۲۴۳۰۵۳۸۳۸۸۵۴۴ است.

تاریخچه

نخستین الگوریتم مبتنی بر این جفت‌دنباله در آثار ژوزف لوئی لاگرانژ ظاهر شد. ویژگی‌های آن توسط کارل فریدریش گاوس بیشتر تحلیل شد.

ویژگی‌ها

هم میانگین هندسی و هم میانگین حسابی دو عدد مثبت x و y بین آن دو عدد قرار دارند. (هنگامی که x ≠ y، آن‌ها «اکیداً» بین آن دو قرار می‌گیرند) میانگین هندسی دو عدد مثبت هرگز بزرگ‌تر از میانگین حسابی آن‌ها نیست (نابرابری میانگین حسابی-هندسی). بنابراین میانگین‌های هندسی یک دنباله صعودی g₀ ≤ g₁ ≤ g₂ ≤ ...؛ میانگین‌های حسابی یک دنباله نزولی a₀ ≥ a₁ ≥ a₂ ≥ ...؛ و برای هر n, g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n هستند. اگر x ≠ y باشد، این نابرابری‌ها اکید هستند.

بنابراین M(x, y) عددی بین x و y است؛ همچنین بین میانگین هندسی و حسابی x و y قرار دارد.

اگر r ≥ ۰ باشد، آنگاه M(rx, ry) = r M(x, y).

یک عبارت به فرم انتگرالی برای M(x, y) وجود دارد:$${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$$که در آن K(k), انتگرال بیضوی کامل نوع اول است:$$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$$از آنجا که فرایند حسابی-هندسی بسیار سریع همگرا می‌شود، روشی کارآمد برای محاسبه انتگرال‌های بیضوی فراهم می‌کند که برای مثال در طراحی فیلتر بیضوی استفاده می‌شوند.

میانگین حسابی-هندسی توسط تابع تتا ژاکوبی $\theta _{3}$ به صورت زیر مرتبط می‌شود:$${\begin{aligned}M(1,x)&=\theta _{3}^{-2}{\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)}\\&=\left[\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right]^{-2},\end{aligned}}$$که با قرار دادن $x=1/{\sqrt {2}}$ نتیجه می‌دهد:$$M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.$$

مفاهیم مرتبط

معکوس میانگین حسابی-هندسی ۱ و ریشه دوم ۲، ثابت گاوس است.$${\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots$$در سال ۱۷۹۹، گاوس ثابت کرد که$$M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}$$که در آن $\varpi$ ثابت لم‌نیسکات است.

در سال ۱۹۴۱، ثابت شد که $M(1,{\sqrt {2}})$ (و در نتیجه $G$) یک عدد ترافرازنده است؛ این اثبات توسط تئودور اشنایدر انجام شد. مجموعه $\{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}$ نسبت به اعداد گویا (الگو:Mathbb) دارای استقلال جبری است، اما مجموعه $\{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}$ (که در آن پریم نشان‌دهنده مشتق نسبت به متغیر دوم است) نسبت به الگو:Mathbb دارای استقلال جبری نیست. در واقع:$$\pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.$$میانگین هندسی-همساز (GH) را می‌توان با استفاده از دنباله‌های مشابه میانگین‌های هندسی و میانگین همساز محاسبه کرد، و در واقع GH(x, y) = 1/M(1/x, 1/y) = xy/M(x, y). میانگین حسابی-همساز معادل میانگین هندسی است.

میانگین حسابی-هندسی می‌تواند برای محاسبه موارد زیر استفاده شود: لگاریتم, انتگرال‌های بیضوی کامل و ناقص نوع اول و دوم, و توابع بیضوی ژاکوبی.

اثبات وجود

نابرابری میانگین حسابی-هندسی نشان می‌دهد که:$$g_{n}\leq a_{n}$$و بنابراین:$$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$$

یعنی دنباله g_n غیرنزولی است و از بالا توسط بزرگ‌ترِ x و y کران‌دار است. بر اساس قضیه همگرایی یکنوا، این دنباله همگرا است، بنابراین g وجود دارد به طوری که:

$$\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$$با این حال، می‌توانیم ببینیم که:$$a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$$ و بنابراین: $$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$$

اثبات عبارت به فرم انتگرال

این اثبات توسط گاوس ارائه شده است. فرض کنید

$$I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$$

با تغییر متغیر انتگرال‌گیری به $\theta '$، که در آن

$${\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\\Rightarrow d(\sin \theta )&=d\left({\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\right)\\\Rightarrow \cos \theta \ d\theta &=2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\cos \theta &={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\[1ex]&={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x-y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\[1ex]&={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\Rightarrow \cos \theta \ d\theta &={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\ d\theta \\[1ex]&=2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta ',\end{aligned}}$$

$$\Rightarrow d\theta ={\frac {x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}{\frac {2d\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}\ ,$$

$${\begin{aligned}{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {\sqrt {x^{2}\left[(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '\right]+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}\\&={\frac {x\left((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '\right)}{\left((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '\right)}}\end{aligned}}$$

این نتیجه می‌دهد که $${\begin{aligned}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {2d\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {d\theta '}{\sqrt {\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta '+\left({\sqrt {xy}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}},\end{aligned}}$$

نتیجه می‌دهد

$${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta '+\left({\sqrt {xy}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\left({\tfrac {x+y}{2}},{\sqrt {xy}}\right)}.\end{aligned}}$$

بنابراین، داریم

$${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}$$ تساوی آخر از مشاهده اینکه $I(z,z)=\pi /(2z)$ حاصل می‌شود.

در نهایت، نتیجه مطلوب را به دست می‌آوریم

$$M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.$$

کاربردها

عدد پی (π)

بر اساس الگوریتم گاوس-لژاندر,

$$\pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},$$

که در آن

$$c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),$$

با $a_{0}=1$ و $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$، که می‌توان آن را بدون از دست دادن دقت با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد:

$$c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.$$

انتگرال بیضوی کامل K(sin α)

با در نظر گرفتن $a_{0}=1$ و $g_{0}=\cos \alpha$، میانگین حسابی-هندسی (AGM) به صورت زیر حاصل می‌شود:

$$M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},$$

که در آن K(k) یک انتگرال بیضوی از نوع اول است:

$$K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.$$

به عبارت دیگر، این دوره ربعی می‌تواند به‌طور کارآمد از طریق AGM محاسبه شود: $$K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.$$

سایر کاربردها

با استفاده از این ویژگی AGM به همراه تبدیل‌های صعودی جان لاندن, ریچارد پیرس برنت نخستین الگوریتم‌های AGM را برای ارزیابی سریع تابع غیرجبریهای مقدماتی (e^x، cos x, sin x) پیشنهاد کرد. متعاقباً، بسیاری از نویسندگان به مطالعه استفاده از الگوریتم‌های AGM پرداختند.

جستارهای وابسته

• الگوریتم گاوس-لژاندر
• میانگین تعمیم‌یافته
• تبدیل لاندن

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Arithmetic–geometric mean Arithmetic–geometric mean]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

• Daróczy, Zoltán; Páles, Zsolt (2002). "Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem". Publicationes Mathematicae Debrecen. 61 (1–2): 157–218. doi:10.5486/PMD.2002.2713. hdl:2437/110605.
• "Arithmetic–geometric mean process". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 2024-05-22.
• "Arithmetic-Geometric Mean". MathWorld. Retrieved 2024-05-22.