میدان شیب

میدان شیب را می‌توان برای معادلات دیفرانسیلی از نوع زیر تعریف کرد:

${\displaystyle y'=f(x,y),}$

که می‌توان آن را از دید هندسی به‌صورت تعیین شیب مماس بر نمودار تابع پاسخ معادله دیفرانسیل (یعنی خم انتگرالی) در هر نقطهٔ (x, y) به‌عنوان تابعی از مختصات آن نقطه تفسیر کرد.^[۳]

می‌توان آن را روشی خلاقانه برای ترسیم تابعی حقیقی از دو متغیر حقیقی \(f(x,y) \) به‌صورت نگاره‌ای دوبعدی در نظر گرفت. به‌طور خاص، برای هر زوج \(x,y \)‎، یک بردار با مؤلفه‌های \([1, f(x,y)] \) در نقطهٔ \(x,y \) در صفحهٔ \(x-y \) رسم می‌شود. گاه این بردار \([1, f(x,y)] \) نرمال‌سازی می‌شود تا نمای گرافیکی برای چشم انسان خواناتر باشد. معمولاً مجموعه‌ای از زوج‌های \(x,y \) که شبکه‌ای مستطیلی تشکیل می‌دهند، برای ترسیم استفاده می‌شود.

هم‌شیب‌ها (مجموعه‌ای از خطوط با شیب یکسان) اغلب برای تکمیل میدان شیب به‌کار می‌روند. در معادله‌ای به‌شکل \(y'=f(x,y) \)‎، هم‌شیب خطی در صفحهٔ \(x,y \) است که از برابر قرار دادن \(f(x,y) \) با یک مقدار ثابت به‌دست می‌آید.

برای یک سامانه از معادلات دیفرانسیل به‌شکل:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$

میدان شیب آرایه‌ای از نشان‌های شیب در فضای فاز خواهد بود (با هر تعداد بُعد بسته به تعداد متغیرها؛ برای نمونه، دو بُعد در مورد یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبهٔ اول، چنان‌که در سمت راست دیده می‌شود). هر نشان شیب در نقطهٔ \((t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \) قرار دارد و با بردار زیر موازی است:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}$

تعداد، موقعیت و طول نشان‌های شیب می‌توانند دلخواه باشند. معمولاً موقعیت‌ها به‌گونه‌ای انتخاب می‌شوند که نقاط \((t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \) یک شبکهٔ یکنواخت تشکیل دهند. حالت استانداردی که پیش‌تر توضیح داده شد، متناظر با \(n = ۱ \) است. نمایش میدان شیب برای سامانه‌های معادلات دیفرانسیل هنگامی که \(n > 2 \) باشد، آسان نیست.

funn = @(x, y)y-x; % تابع f(x, y) = y-x [x, y] = meshgrid(-5:0.5:5); % بازه‌ها برای x و y slopes = funn(x, y); % ماتریس مقادیر شیب dy = slopes. / sqrt(1 + slopes. ^2); % نرمال‌سازی برای عنصر خطی … dx = ones(length(dy)). / sqrt(1 + slopes. ^2); % … اندازه‌های dx و dy h = quiver(x, y, dx, dy, 0.5); % ترسیم میدان جهت‌دار set(h, "maxheadsize", 0.1); % تغییر اندازهٔ سر پیکان

/* میدان برای y'=xy (برای رسم خم انتگرالی، روی نقطه‌ای کلیک کنید). دستور plotdf به Xmaxima نیاز دارد */ plotdf(x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

(* میدان برای y'=xy *) VectorPlot[{1,x*y-5x},{x,-2,2},{y,-2,2}]

var('x,y') plot_slope_field(x*y, (x,0,-5), (y,-5,5))