نظریه گرهها
در توپولوژی، مطالعهٔ گرههای ریاضی را نظریه گره مینامند. در حالیکه این مفهوم از گرههایی که در زندگی روزمره مثل گره بند کفش یا یک گره در یک طناب الهام گرفته شده از این جهت با آنها متفاوت است که بر خلاف بند کفش یا طناب که دو سر باز دارند ، یک گره ریاضی دو سر آن بهم متصل اند (مثل یک حلقه) و نمیتوان دو سر آن را از هم باز کرد.ساده ترین یک گره که آن را یک " گره تهی " مینامیم یک حلقه است.در توپولوژی یک گره نشاندن یک دایره در یک فضای سه بعدی اقلیدسی است.
دو گره ریاضی در صورتی معادل هستند که یکی بتواند از طریق تغییر شکل فضای R³ به روی خودش (که به ایزوتوپی پیرامونی معروف است) به دیگری تبدیل شود. این تبدیلها معادل دستکاریهای یک رشته گرهخورده هستند که بدون بریدن رشته یا عبور دادن آن از درون خودش انجام میشود.
گرهها را میتوان به روشهای مختلف توصیف کرد. ممکن است بیش از یک توصیف برای یک گره واحد وجود داشته باشد. برای مثال، یک روش متداول برای توصیف یک گره، استفاده از یک نمودار دو بعدی به نام نمودار گره است، که در آن میتوان هر گرهای را به روشهای گوناگونی ترسیم کرد. بنابراین، یک مسئله بنیادی در نظریه گرهها، مشخص کردن این است که چه زمانی دو توصیف مختلف، نمایانگر یک گره یکسان هستند.
یک راهحل الگوریتمی کامل برای این مسئله وجود دارد که پیچیدگی آن نامشخص است. در عمل، اغلب با استفاده از یک ناوردای گره، گرهها را از هم متمایز میکنند. یک ناوردا «کمیتی» است که وقتی از توصیفهای مختلف یک گره محاسبه میشود، مقدار یکسانی دارد. از ناورداهای مهم میتوان به چندجملهایهای گره، گروههای گره و ناورداهای هذلولوی اشاره کرد.
انگیزه اولیه بنیانگذاران نظریه گره، ایجاد جدولی از گرهها و پیوندها بود که خود گرههایی متشکل از چند جزء درهمتنیده هستند. از آغاز نظریه گره در قرن نوزدهم تاکنون، بیش از شش میلیارد گره و پیوند فهرستبندی شدهاند.
برای کسب بینش عمیقتر، ریاضیدانان مفهوم گره را به چندین روش تعمیم دادهاند. میتوان گرهها را در فضاهای سهبعدی دیگر در نظر گرفت و از اشیایی غیر از دایره استفاده کرد؛ رجوع کنید به گره (ریاضیات). برای مثال، یک گره با ابعاد بالاتر، یک کره n-بعدی است که در فضای اقلیدسی (n+2)-بعدی تعبیه شده است. همچنین نظریه گره را میتوان گسترش داد تا درهمتنیدگی در منحنیهای باز را توصیف کند، که برای مطالعه گرهها در پروتئینها، DNA و طنابهای فیزیکی به کار میرود.
تاریخچه
باستانشناسان دریافتهاند که هنر گرهزنی به دورهی ما قبل تاریخ بازمیگردد این گرهها گذشته از کاربردهای عملیشان مثل ثبت اطلاعات یا بستن اشیاء، همواره بهخاطر زیبایی و معنای نمادین شان برای انسانها جذاب بودهاند. ردپای گرهها را میتوان در شکلهای گوناگون هنر چینیِ متعلق به سدهها پیش از میلاد مشاهده کرد. گرهٔ بیپایان در بودیسم نمادی شناختهشده است و حلقههای بورومیایی نیز بارها در فرهنگهای مختلف ظاهر شدهاند و عموماً نماد قوتِ اتحاد هستند. راهبان سلتیک که کتاب کلز را پدید آوردند، صفحاتی کامل را با نقوش پیچیده و گرهوار سلتیک تزئین کردند.
نظریهٔ ریاضی گرهها برای نخستین بار در سال ۱۷۷۱ توسط الکساندر-تئوفیل وندرموند پایهگذاری شد. او بهصراحت بر اهمیت ویژگیهای توپولوژیک هنگام بررسی خواص گرهها در هندسهٔ موقعیت تأکید کرد. مطالعهٔ جدیتر گرهها در ریاضیات، در سدهٔ نوزدهم با گاوس و تعریف مفهوم انتگرال پیوند توسط او آغاز شد. در دههٔ ۱۸۶۰، کلوین نظریهای ارائه داد مبنی بر اینکه اتمها در حقیقت گرههایی در بافت اِتر هستند. این ایده، پیتر گاتری تیت را برانگیخت تا اولین جدولهای طبقهبندی گرهها را تهیه کند. تیت در سال ۱۸۸۵ فهرستی از گرهها با حداکثر ده تقاطع را منتشر کرد و مجموعهای از گزارهها را مطرح نمود که بعدها به «حدسهای تیت» معروف شدند. این کار انگیزهبخشِ نخستین نظریهپردازان گره بود، اما به مرور، نظریهٔ گره به بخشی از دانش نوپای توپولوژی تبدیل شد.
در اوایل سدهٔ بیستم، توپولوژیدانان برجستهای مانند ماکس دِن و جِی. دبلیو. الکساندر، گرهها را عمدتاً از منظر گروه گره و با استفاده از ناورداهای همولوژی مانند **چندجملهای الکساندر مطالعه میکردند. این رویکرد تا پیش از چندین دستاورد انقلابی، مسیر اصلی پژوهش در نظریهٔ گره بود.
در اواخر دههٔ ۱۹۷۰، ویلیام تورستون با معرفی قضیهٔ ابرهندسیسازی، هندسهٔ هذلولوی را به حوزهٔ مطالعهٔ گرهها آورد. مشخص شد بسیاری از گرهها خاصیت هذلولوی دارند و این کشف، راه را برای تعریف ناورداهای قدرتمندِ جدید با کمک هندسه باز کرد. کشف چندجملهای جونز توسط وون جونز در سال ۱۹۸۴ و سپس مشارکتهای پژوهشگرانی مانند ادوارد ویتن، ماکسیم کانتسویچ و لوئیس کافمن، پیوندهای ژرفی را میان نظریهٔ گره و روشهای ریاضیِ مکانیک آماری و نظریهٔ میدان کوانتومی آشکار ساخت. از آن پس، انبوهی از ناورداهای جدید با بهرهگیری از ابزارهای پیچیدهای مثل گروههای کوانتومی و همولوژی فلور ابداع شدهاند.
در چند دههٔ پایانی سدهٔ بیستم، توجه دانشمندان به گرههای فیزیکی جلب شد تا پدیدههایی مانند گرهخوردگی در DNA و دیگر پلیمرها را بهتر درک کنند. نظریهٔ گره ابزاری برای تشخیص دستوارگی (کایرالیته) مولکولها فراهم میکند. همچنین، از مطالعهٔ تَنگِلها (رشتههایی با دو سر ثابت) برای بررسی عملکرد آنزیم توپوایزومراز بر روی DNA بهطور مؤثری استفاده شده است. امروزه حتی این احتمال مطرح است که نظریهٔ گره در ساخت رایانههای کوانتومی از طریق مدل محاسبات کوانتومی توپولوژیک نقشی کلیدی ایفا کند.
نگارخانه
The left handed trefoil knot.
منابع
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Knot theory». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۲۰ دسامبر ۲۰۱۵.
پیوند به بیرون
- Thomson, Sir William (1867), "On Vortex Atoms", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, VI: 94–105
- Silliman, Robert H. (December 1963), "William Thomson: Smoke Rings and Nineteenth-Century Atomism", Isis, 54 (4): 461–474, doi:10.1086/349764, JSTOR 228151
- Movie of a modern recreation of Tait's smoke ring experiment
- History of knot theory (on the home page of Andrew Ranicki)