نمودار صفر و قطب

در ریاضیات، پردازش سیگنال و نظریه کنترل، نمودار قطب و صفر یا نمودار قطب-صفر (به انگلیسی: pole–zero plot)، نمایش گرافیکی یک تابع تبدیل گویا در صفحه مختلط است که به بیان برخی از ویژگی‌های سامانه، مانند موارد زیر کمک می‌کند:

• پایداری
• سامانه علی / سامانه ناعِلّی
• ناحیه همگرایی (آراوسی)
• کمینه فاز / ناکمینه فاز

چگونه تبدیل دوخطی، صفحه z را به صفحه s نگاشت می‌کند. نواحی ناپایدار برای قطب‌های یک سامانه کنترل خطی سایه‌دار شده‌اند.

یک نمودار قطب-صفر، مکان قطب‌ها و صفرهای تابع تبدیل یک سامانه پویا، مانند یک کنترل‌کننده، جبران‌گر، حسگر، اکولایزر، فیلتر یا کانال ارتباطی را در صفحه مختلط نشان می‌دهد. طبق قرارداد، قطب‌های سامانه در نمودار با X و صفرها با دایره یا O نشان داده می‌شوند.

یک نمودار قطب-صفر در صفحه یک حوزه فرکانس مختلط رسم شده است که می‌تواند یک سامانه زمان-پیوسته یا زمان گسسته را نشان دهد:

• سامانه‌های زمان-پیوسته از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنند و در صفحه s رسم می‌شوند: $s=\sigma +j\omega$
  • مولفه‌های فرکانس حقیقی در امتداد محور عمودی آن (خط موهومی $s{=}j\omega$ که اینجا $\sigma {=}0$) قرار دارند)
• سامانه‌های زمان-گسسته از تبدیل Z استفاده می‌کنند و در صفحه z رسم می‌شوند: $z=Ae^{j\phi }$
  • اجزای فرکانس حقیقی در امتداد دایره واحد آن قرار دارند

سامانه‌های زمان-پیوسته

به‌طور کلی، یک تابع تبدیل گویا برای یک سامانه LTI زمان-پیوسته به شکل زیر است:

$$H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}$$

که اینجا

• $B$ و $A$ چندجمله‌ایهایی در $s$ هستند،
• $M$ مرتبه چندجمله‌ای صورت است،
• $b_{m}$ ضریب $m$ام چندجمله‌ای صورت است،
• $N$ مرتبه چندجمله‌ای مخرج است،
• $a_{n}$ ضریب $n$ام چندجمله‌ای مخرج است.

یا $M$ یا $N$ یا هر دو ممکن است صفر باشند، اما در سامانه‌های واقعی، باید اینطور باشد که $M\leq N$ در غیر این صورت، بهره در فرکانس‌های بالا نامحدود خواهد بود.

قطب‌ها و صفرها

• صفرهای سامانه، ریشه‌های چندجمله‌ای صورت کسر هستند: $$s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}$$ به طوری که $$B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$$
• قطب‌های سامانه، ریشه‌های چندجمله‌ای مخرج هستند: $$s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}$$ به طوری که $$A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.$$

ناحیه همگرایی

ناحیه همگرایی (آراوسی) برای یک تابع تبدیل زمان-پیوسته معین، یک نیم‌صفحه یا نوار عمودی است که هیچ‌کدام حاوی قطب نیستند. به‌طور کلی، آراوسی منحصر به فرد نیست و آراوسی خاص در هر مورد معین به این بستگی دارد که آیا سامانه عِلّی است یا ناعِلّی.

• اگر آراوسی شامل محور موهومی باشد، آنگاه سامانه از نظر ورودی-خروجی کراندار (بای‌بو) پایدار است.
• اگر آراوسی از قطبی که بزرگ‌ترین بخش حقیقی را دارد به سمت راست امتداد یابد (اما نه در بی‌نهایت)، آنگاه سامانه عِلّی است.
• اگر آراوسی از قطبی که کوچک‌ترین بخش حقیقی را دارد به سمت چپ امتداد یابد (اما نه در منفی بی‌نهایت)، آنگاه سامانه ناعِلّی است.

معمولاً آراوسی طوری انتخاب می‌شود که محور موهومی را نیز در بر بگیرد، زیرا برای اکثر سامانه‌های عملی، داشتن پایداری بای‌بو مهم است.

مثال

$$H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}$$

این سامانه صفر (متناهی) ندارد و دو قطب دارد: $$s=\alpha _{1}=-3+4j$$ و $$s=\alpha _{2}=-3-4j$$

نمودار قطب-صفر به صورت زیر خواهد بود:

توجه داشته باشید که این دو قطب، مزدوج‌های مختلط هستند، که شرط لازم و کافی برای داشتن ضرایب با مقدار حقیقی در معادله دیفرانسیل نشان دهنده این سامانه است.

سامانه‌های زمان-گسسته

به‌طور کلی، یک تابع تبدیل گویا برای یک سامانه اِل‌تی‌آی زمان-گسسته به شکل زیر است:

$$H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}$$

که اینجا

• $M$ مرتبه چندجمله‌ای صورت است،
• $b_{m}$ ضریب $m$ام چندجمله‌ای صورت است،
• $N$ مرتبه چندجمله‌ای مخرج است،
• $a_{n}$ ضریب $n$ام چندجمله‌ای مخرج است.

یا $M$ یا $N$ یا هر دو ممکن است صفر باشند.

قطب‌ها و صفرها

• $z=\beta _{m}$ به‌طوری که $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ the صفرهای این سامانه هستند
• $z=\alpha _{n}$ به‌طوری کهt $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ قطب‌های این سامانه هستند.

ناحیه همگرایی

ناحیه همگرایی (آراوسی) برای یک تابع انتقال زمان-گسسته معین، یک قرص یا حلقه است که هیچ قطب حذف‌نشده‌ای ندارد. به‌طور کلی، آراوسی منحصر به فرد نیست و آراوسی خاص در هر مورد خاص به این بستگی دارد که آیا سامانه علّی است یا ضد علّی.

• اگر آراوسی شامل دایره واحد باشد، آنگاه سامانه از نظر ورودی-خروجی کراندار (بای‌بو) پایدار است.
• اگر آراوسی از قطبی با بزرگ‌ترین بزرگی (اما نه بی‌نهایت) به سمت بیرون امتداد یابد، آنگاه سامانه دارای پاسخ ضربه سمت راست است. اگر آراوسی از قطبی با بزرگ‌ترین اندازه به سمت بیرون امتداد یابد و هیچ قطبی در بی‌نهایت وجود نداشته باشد، آنگاه سامانه عِلّی است.
• اگر آراوسی از قطبی با کوچک‌ترین اندازه (ناصِفر) به سمت داخل امتداد یابد، آنگاه سامانه ناعِلّی است.

معمولاً آراوسی طوری انتخاب می‌شود که دایره واحد را در بر بگیرد، زیرا برای اکثر سامانه‌های عملی، داشتن پایداری بای‌بو مهم است.

مثال

اگر $P(z)$ و $Q(z)$ کاملاً فاکتورگیری شده باشند (عبارت‌های ضرب‌شده درهم)، جواب آنها را می‌توان به راحتی در صفحه z رسم کرد. به عنوان مثال، با توجه به تابع تبدیل زیر: $$H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}$$

تنها صفر (متناهی) در موقعیت: $z=-2$ قرار دارد و دو قطب در موقعیت‌های: ${\textstyle z=\pm {\frac {j}{2}}}$ قرار دارند، که در اینجا $j$ یکه موهومی است.

نمودار قطب-صفر به صورت زیر خواهد بود:

پرونده:PoleZeroPlot.png

جستارهای وابسته

• مکان ریشه
• تبدیل لاپلاس
• تبدیل Z
• تابع گویا

کتابشناسی

• Haag, Michael (June 22, 2005). "Understanding Pole/Zero Plots on the Z-Plane". OpenStax CNX. Archived from the original on June 12, 2018. Retrieved June 9, 2018.
• Eric W. Weisstein. "Z-Transform". MathWorld. Retrieved January 24, 2010.