پایداری مداری

در ریاضی‌فیزیک و نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، اگر جوابی با داده‌های اولیه به اندازه کافی نزدیک به ${\displaystyle \phi (x)}$ برای همیشه در یک همسایگی کوچک معین از مسیر ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi (x)}$ باقی بماند، به جواب موج منفرد شکل ${\displaystyle u(x,t)=e^{-i\omega t}\phi (x)}$ گفته می‌شود که به‌طور مداری پایدار (به انگلیسی: orbitally stable) است.

تعریف رسمی به شرح زیر است.^[۱] سامانه پویایی را در نظر بگیرید

${\displaystyle i{\frac {du}{dt}}=A(u),\qquad u(t)\in X,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

با ${\displaystyle X}$ یک فضای باناخ بر ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ، و ${\displaystyle A:X\to X}$ . ما فرض می‌کنیم که سامانه ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$-ناوردا است، به طوری که ${\displaystyle A(e^{is}u)=e^{is}A(u)}$ برای هر ${\displaystyle u\in X}$ و هر ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ .

فرض کنید که ${\displaystyle \omega \phi =A(\phi )}$ ، به طوری که ${\displaystyle u(t)=e^{-i\omega t}\phi }$ جوابی برای سامانه پویا است. ما چنین جوابی را یک موج منفرد می‌نامیم.

ما می‌گوییم که موج منفرد ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi }$ در صورت وجود به‌طور مداری پایدار است اگر برای هر ${\displaystyle \epsilon >0}$ وجود دارد ${\displaystyle \delta >0}$ به طوری که برای هر ${\displaystyle v_{0}\in X}$ با ${\displaystyle \Vert \phi -v_{0}\Vert _{X}<\delta }$ یک جواب ${\displaystyle v(t)}$ برای همه ${\displaystyle t\geq 0}$ تعریف شده است به گونه‌ای که ${\displaystyle v(0)=v_{0}}$ ، و به گونه‌ای که این جواب را ارضاء می‌کند وجود دارد

با توجه به،^[۲][۳] جواب موج منفرد ${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}$ به معادله غیرخطی شرودینگر

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}u=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u+g\!\left(|u|^{2}\right)u,\qquad u(x,t)\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} ,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

که در اینجا ${\displaystyle g}$ یک تابع با مقدار حقیقی هموار است، اگر معیار پایداری واکیتوف-کولوکولوف برآورده شود، از نظر مداری پایدار است:

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\phi _{\omega })<0,}$

که در اینجا

${\displaystyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)|^{2}\,dx}$

بار است از جواب ${\displaystyle u(x,t)}$، که در زمان پایسته است (حداقل اگر جواب ${\displaystyle u(x,t)}$ باشد به اندازه کافی هموار است).

همچنین نشان داده شد،^[۴][۵] که اگر ${\textstyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\omega )<0}$ در یک مقدار خاص از ${\displaystyle \omega }$ ، سپس موج منفرد${\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}$ لیاپانوف پایدار است، با تابع لیاپانوف که توسط ${\displaystyle L(u)=E(u)-\omega Q(u)+\Gamma (Q(u)-Q(\phi _{\omega }))^{2}}$ ، که در اینجا${\displaystyle E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|^{2}+G\!\left(|u|^{2}\right)\right)dx}$ انرژی یک جواب است ${\displaystyle u(x,t)}$ ، با ${\textstyle G(y)=\int _{0}^{y}g(z)\,dz}$ پادمشتق (به انگلیسی: antiderivative) از ${\displaystyle g}$، به شرطی که ثابت ${\displaystyle \Gamma >0}$ به اندازه کافی بزرگ انتخاب شده است.

• نظریه پایداری
  • پایداری مجانبی
  • پایداری خطی
  • پایداری لیاپانوف
  • معیار پایداری واکیتوف-کولوکولوف