کلاس رد

عملگر کلاس رد در ریاضیات، به‌ ویژه در آنالیز تابعی، یک عملگر خطی است که می‌توان برای آن یک اثر یا رد تعریف کرد. این رد به گونه‌ای تعیین می‌شود که عددی متناهی باشد و مستقل از انتخاب پایه‌ای باشد که برای محاسبه آن استفاده می‌شود. این ردگیری از عملگرهای کلاس رد، ردگیری ماتریس‌های مورد مطالعه در جبر خطی را تعمیم می‌دهد. همه‌ی عملگرهای کلاس رد، عملگرهای فشرده هستند.

در مکانیک کوانتومی، حالت‌های کوانتومی توسط ماتریس‌های چگالی توصیف می‌شوند که عملگرهای خاصی از کلاس رد هستند. ^[۱]

فرض کنید ${\displaystyle H}$ یک فضای هیلبرت جداپذیر باشد، ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ یک پایه متعامد و ${\displaystyle A:H\to H}$ یک عملگر خطی کران‌دار مثبت روی ${\displaystyle H}$ است. رد ${\displaystyle A}$ با ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$ نشان داده شده و به صورت زیر تعریف می‌شود^[۲]

$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$$

مستقل از انتخاب پایه‌ی متعامد، عملگر خطی کران‌دار (نه لزوماً مثبت) ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$ کلاس رد نامیده می‌شود اگر و تنها اگر

$${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}$$

که در آن ${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$ نشان‌دهنده‌ی جذر هرمیتی مثبت نیمه‌معین است. ^[۳]

1. ↑ Mittelstaedt, Peter (2009). "Mixed State". Compendium of Quantum Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 389–390. doi:10.1007/978-3-540-70626-7_120. ISBN 978-3-540-70622-9.
2. ↑ Conway, John B. (2000). A Course in Operator Theory. Providence (R.I.): American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2065-0.
3. ↑ Reed, M.; Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics: Vol 1: Functional analysis. Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.