آماره بسنده

آمارهٔ بسنده (به انگلیسی: Sufficient Statistic)^[۱] برای یک پارامتر، آماره‌ای است از داده که تمام اطلاعات موردنیاز برای تخمین آن پارامتر را دربر دارد. به بیان دیگر، گوییم ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ آماره‌ای بسنده‌است اگر دانستن آن ما را از داشتن تمام نمونه‌ها برای تخمین پارامترهای توزیع نمونه‌ها بی‌نیاز سازد. به عنوان مثال، در تخمین میانگین نمونه‌های ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ که براساس توزیع نرمال با میانگین ${\displaystyle \mu }$ و واریانس واحد توزیع شده‌اند، آمارهٔ زیر یک آمارهٔ بسنده‌است:

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

تعریف دقیق ریاضی آماره بسنده به صورت زیر است:^[۲]

آماره ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$ یک آماره بسنده برای ${\displaystyle \theta }$ است اگر توزیع نمونه ${\displaystyle X}$ به شرط ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$ به ${\displaystyle \theta }$ بستگی نداشته‌باشد.

یافتن آمارهٔ بسنده با استفاده از تعریف آن غالباً مشکل است. برای محاسبه آماره بسنده معمولاً از قضیه فاکتورگیری استفاده می‌شود:^[۳]

فرض کنید ${\displaystyle f(\mathbf {x} |\theta )}$ یک تابع چگالی احتمال برای نمونه ${\displaystyle \mathbf {X} }$ باشد. آماره ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ یک آماره بسنده برای پارامتر ${\displaystyle \theta }$ است اگر و تنها اگر توابع ${\displaystyle g(t|\theta )}$ و ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ وجود داشته‌باشند به صورتی که برای همه مقادیر ${\displaystyle \mathbf {X} }$ و ${\displaystyle \theta }$ داشته باشیم:

${\displaystyle f(\mathbf {x} |\theta )=g(T(\mathbf {x} |\theta ))h(\mathbf {x} )}$

• آماره کامل
• آماره کمکی