آنتروپی فون نویمان

اگر ρ_A و ρ_B ماتریس چگالی کاهش‌یافته حالت عمومی ρ_AB باشند، آن‌گاه: $${\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$$

نام نابرابری سمت راست، زیرجمعی بودن و نابرابری سمت چپ، نابرابری مثلثی است.^[۱۷] در نظریهٔ شانون، آنتروپی دستگاه مرکب هرگز نمی‌تواند کمتر از آنتروپی هیچ‌یک از اجزای آن باشد؛ اما در نظریهٔ کوانتومی چنین نیست. یعنی ممکن است {{{1}}} در حالی‌که {{{1}}} باشد. این بیان می‌دارد که آنتروپی شانون یکنوا است، اما آنتروپی فون نیومان چنین خاصیتی ندارد.^[۱۸] به‌عنوان مثال، حالت حالت بل دو ذرهٔ اسپین-۱/۲ را در نظر بگیرید: $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle .}$$ این یک حالت خالص با آنتروپی صفر است، اما هر اسپین به‌صورت جداگانه بیشینهٔ آنتروپی را دارد، زیرا ماتریس چگالی کاهش‌یافتهٔ آن حالت کاملاً آمیخته است. این نشان می‌دهد که حالت مورد نظر درهم‌تنیده است.^[۱۹] کاربرد آنتروپی به‌عنوان سنجهٔ درهم‌تنیدگی در ادامه بررسی می‌شود.

آنتروپی فون نیومان همچنین زیرجمعی بودن قوی دارد.^[۲۰] با داشتن سه فضای هیلبرت A و B و C: $${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$ با استفاده از روشی که نابرابری مثلثی را ثابت می‌کند، می‌توان نشان داد که نابرابری زیرجمعی بودن قوی معادل است با: $${\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$$ که در آن ρ_AB و غیره، ماتریس‌های چگالی کاهش‌یافتهٔ ρ_ABC هستند.^[۲۱] اگر زیرجمعی بودن معمولی را بر سمت چپ این نابرابری اعمال کنیم، به‌دست می‌آوریم: $${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$ به‌علت تقارن، برای هر حالت سه‌بخشی ρ_ABC، هر یک از سه عدد S(ρ_AB), S(ρ_BC), S(ρ_AC) کمتر یا مساوی مجموع دو عدد دیگر است.^[۲۲]

با داشتن یک حالت کوانتومی و مشخصهٔ یک اندازه‌گیری کوانتومی، می‌توان احتمال‌های نتایج ممکن آن اندازه‌گیری را محاسبه و از آن‌ها آنتروپی شانون توزیع احتمال را یافت. اندازه‌گیری کوانتومی به‌صورت ریاضی با اندازه‌گیری POVM مشخص می‌شود.^[۲۳] در ساده‌ترین حالت، وقتی دستگاه فضای هیلبرت متناهی‌بعد دارد و اندازه‌گیری دارای شمار محدودی نتیجه است، POVM مجموعه‌ای از ماتریس‌های مثبت نیمه‌معین ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ بر فضای هیلبرت است که مجموعشان برابر با ماتریس همانی می‌باشد:^[۲۴] $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$$ عنصر POVM یعنی ${\displaystyle F_{i}}$ با نتیجهٔ اندازه‌گیری ${\displaystyle i}$ متناظر است، به‌طوری‌که احتمال به‌دست‌آمدن آن هنگام اندازه‌گیری حالت کوانتومی ${\displaystyle \rho }$ توسط رابطهٔ $${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}).}$$ تعیین می‌شود. POVM از رتبهٔ ۱ است اگر همهٔ عناصرش متناسب با عملگرهای فرافکن رتبهٔ ۱ باشند. آنتروپی فون نیومان برابر با کمینهٔ آنتروپی شانون قابل دستیابی است، جایی‌که کمینه‌سازی بر همهٔ POVMهای رتبهٔ ۱ انجام می‌شود.^[۲۵]

اگر ρ_i عملگرهای چگالی و λ_i مجموعه‌ای از عددهای مثبت باشند که مجموعشان یک است (${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$)، آنگاه $${\displaystyle \rho =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}}$$ یک عملگر چگالی معتبر است، و تفاوت میان آنتروپی فون نیومان آن و میانگین وزنی آنتروپی‌های ρ_i توسط آنتروپی شانون عددهای λ_i کراندار است: $${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})\leq -\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$$ برابری زمانی برقرار می‌شود که پایه‌های ρ_i — فضاهای گسترده‌شده توسط بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژهٔ غیرصفر — متعامد باشند. تفاوت سمت چپ این نابرابری را کمیت هوْلفو χ می‌نامند که در قضیهٔ هوْلفو نیز ظاهر می‌شود، و یکی از نتایج مهم در نظریهٔ اطلاعات کوانتومی است.^[۲۶]

تحول زمانی یک دستگاه منزوی توسط یک عملگر یکانی توصیف می‌شود: $${\displaystyle \rho \to U\rho U^{\dagger }.}$$ تحول یکانی، حالت‌های خالص را به حالت‌های خالص تبدیل می‌کند،^[۲۷] و آنتروپی فون نیومان را بدون تغییر باقی می‌گذارد، زیرا آنتروپی ${\displaystyle \rho }$ تابعی از مقادیر ویژهٔ آن است.^[۲۸]

اندازه‌گیری بر روی دستگاه کوانتومی معمولاً باعث تغییر حالت کوانتومی دستگاه می‌شود. نوشتن POVM اطلاعات کافی برای توصیف کامل فرآیند تغییر حالت را فراهم نمی‌کند.^[۲۵] برای رفع این نقص، هر عنصر POVM را به‌صورت حاصل‌ضرب تجزیه می‌کنیم: $${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$$ عملگرهای کراوس ${\displaystyle A_{i}}$ (به‌نام کارل کراوس) مشخصهٔ فرآیند تغییر حالت را فراهم می‌کنند. آن‌ها الزاماً خودترافقی نیستند، اما حاصل‌ضرب‌های ${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$ خودترافقی‌اند. اگر نتیجهٔ اندازه‌گیری ${\displaystyle E_{i}}$ حاصل شود، آنگاه حالت اولیهٔ ${\displaystyle \rho }$ به صورت زیر به‌روزرسانی می‌شود: $${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$$ یکی از حالت‌های ویژهٔ مهم، قانون لودرز است، به‌نام گرهارت لودرز.^[۲۹][۳۰] اگر عناصر POVM، عملگر فرافکن باشند، عملگرهای کراوس می‌توانند همان فرافکن‌ها باشند: $${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$$ در صورتی که حالت اولیه ${\displaystyle \rho }$ خالص باشد و فرافکن‌های ${\displaystyle \Pi _{i}}$ رتبهٔ ۱ داشته باشند، می‌توان آن‌ها را به شکل فرافکن‌هایی بر بردارهای ${\displaystyle |\psi \rangle }$ و ${\displaystyle |i\rangle }$ نوشت و رابطه ساده می‌شود: $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$$ می‌توان یک نگاشت خطی، مثبت کامل، و پایتابیِ ردیف تعریف کرد با جمع‌زدن بر همهٔ حالت‌های پس از اندازه‌گیری بدون نرمال‌سازی: $${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$$ این نمونه‌ای از کانال کوانتومی است.^[۲۵] و می‌توان آن را به‌عنوان توصیفی از تغییر حالت کوانتومی زمانی که اندازه‌گیری انجام شده ولی نتیجهٔ آن از بین رفته، تعبیر کرد.^[۲۵] کانال‌های ناشی از اندازه‌گیری فرافکنی هرگز نمی‌توانند آنتروپی فون نیومان را کاهش دهند؛ فقط اگر ماتریس چگالی را تغییر ندهند، آنتروپی ثابت می‌ماند.^[۳۱] کانال کوانتومی آنتروپی فون نیومان هر حالت ورودی را افزایش یا ثابت نگه می‌دهد اگر و تنها اگر نگاشت یکانی باشد، یعنی حالت کاملاً آمیخته را ثابت نگه دارد. نمونه‌ای از کانالی که آنتروپی را کاهش می‌دهد، کانال میرایی دامنه‌ای برای کیوبیت است که همهٔ حالت‌های آمیخته را به حالت خالص می‌فرستد.^[۳۲]

اگر ${\displaystyle \rho _{AB}}$ حالت مشترک برای دستگاه دوبخشی AB باشد، آنتروپی فون نیومان شرطی ${\displaystyle S(A|B)}$ برابر با اختلاف میان آنتروپی ${\displaystyle \rho _{AB}}$ و آنتروپی حالت حاشیه‌ای زیرسامانهٔ B است: $${\displaystyle S(A|B)=S(\rho _{AB})-S(\rho _{B}).}$$ این مقدار از ${\displaystyle S(\rho _{A})}$ بالاتر نیست؛ یعنی شرطی کردن توصیف زیرسامانهٔ A بر B نمی‌تواند آنتروپی مرتبط با A را افزایش دهد.^[۲۵]

اطلاعات متقابل کوانتومی به‌صورت تفاضل میان آنتروپی حالت مشترک و مجموع آنتروپی‌های حاشیه‌ها تعریف می‌شود: $${\displaystyle S(A:B)=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB}),}$$ که می‌توان آن را با آنتروپی شرطی نیز نوشت:^[۳۶] $${\displaystyle S(A:B)=S(A)-S(A|B)=S(B)-S(B|A).}$$

اگر ${\displaystyle \rho }$ و ${\displaystyle \sigma }$ دو عملگر چگالی در فضای حالت یکسان باشند، آنتروپی نسبی به‌صورت زیر تعریف می‌شود: $${\displaystyle S(\sigma |\rho )=\operatorname {tr} [\rho (\log \rho -\log \sigma )].}$$ آنتروپی نسبی همواره بزرگ‌تر یا مساوی صفر است؛ و تنها زمانی برابر صفر می‌شود که ${\displaystyle \rho =\sigma }$.^[۳۷] برخلاف آنتروپی فون نیومان، آنتروپی نسبی خاصیت یکنوایی دارد، یعنی با ردگیری بخشی از دستگاه کاهش می‌یابد یا ثابت می‌ماند:^[۳۸] $${\displaystyle S(\sigma _{A}|\rho _{A})\leq S(\sigma _{AB}|\rho _{AB}).}$$

همان‌گونه که انرژی منبعی برای انجام کارهای مکانیکی است، درهم‌تنیدگی منبعی برای انجام کارهایی است که شامل ارتباط و محاسبه‌اند.^[۳۹] تعریف ریاضی درهم‌تنیدگی را می‌توان چنین بیان کرد: دانستن بیشینهٔ اطلاعات دربارهٔ کل دستگاه، لزوماً دانستن بیشینهٔ اطلاعات دربارهٔ اجزای آن را تضمین نمی‌کند.^[۴۰] اگر حالت کوانتومی توصیف‌کنندهٔ جفتی از ذرات درهم‌تنیده باشد، نتیجهٔ اندازه‌گیری بر یکی از آن‌ها می‌تواند با نتیجهٔ دیگری هم‌بستگی شدید داشته باشد. با این حال، درهم‌تنیدگی همان هم‌بستگی به معنای کلاسیک نیست؛ بلکه نوعی هم‌بستگی بالقوه است که در آزمایشی مناسب می‌تواند بالفعل شود.^[۴۱] حالت دستگاه مرکب همواره به‌شکل مجموع یا هم‌نهشتی کوانتومی از ضرب‌های حالت‌های محلی اجزا بیان‌پذیر است؛ حالت درهم‌تنیده است اگر این مجموع نتواند به تک‌ضرب ساده تجزیه شود.^[۴۲] آنتروپی یکی از ابزارهایی است که برای سنجش میزان درهم‌تنیدگی به‌کار می‌رود.^[۴۳][۴۴] اگر دستگاه کلی توسط حالت خالص توصیف شود، آنتروپی یکی از زیرسامانه‌ها معیاری از مقدار درهم‌تنیدگی آن با سایر زیرسامانه‌ها است. برای حالت‌های خالص دوبخشی، آنتروپی فون نیومان حالت‌های کاهش‌یافته، سنجهٔ یکتای درهم‌تنیدگی است، زیرا تنها تابعی است که شرایط لازم برای سنجهٔ درهم‌تنیدگی را برآورده می‌کند.^[۴۵][۴۶] بنابراین به آن آنتروپی درهم‌تنیدگی گفته می‌شود.^[۴۷]

نتیجهٔ کلاسیک این است که آنتروپی شانون در توزیع یکنواخت {1/n, ..., 1/n} به بیشینهٔ خود می‌رسد.^[۴۸] بنابراین، حالت خالص دوبخشی ρ ∈ H_A ⊗ H_B به‌صورت حالت کاملاً درهم‌تنیده شناخته می‌شود اگر حالت کاهش‌یافتهٔ هر زیرسامانه از ρ ماتریس قطری به‌شکل زیر باشد:^[۴۹] $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{pmatrix}}.}$$

برای حالت‌های آمیخته، آنتروپی فون نیومان کاهش‌یافته تنها سنجهٔ ممکن درهم‌تنیدگی نیست.^[۵۰] برخی سنجه‌های دیگر نیز ماهیت آنتروپی دارند. مثلاً آنتروپی نسبی درهم‌تنیدگی با کمینه‌سازی آنتروپی نسبی میان حالت داده‌شده ${\displaystyle \rho }$ و مجموعهٔ حالت‌های غیر‌درهم‌تنیده، یا جداشدنی، تعریف می‌شود.^[۵۱] درهم‌تنیدگی تشکیل با کمینه‌سازی میانگین آنتروپی درهم‌تنیدگی از میان همهٔ نمایش‌های ممکن ${\displaystyle \rho }$ به‌صورت ترکیب محدب از حالت‌های خالص تعریف می‌شود.^[۵۲] درهم‌تنیدگی فشرده بر پایهٔ توسعهٔ حالت دوبخشی ${\displaystyle \rho _{AB}}$ به حالت بزرگ‌تر ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ است، به‌طوری‌که ردگیری جز E، ${\displaystyle \rho _{AB}}$ را به‌دست دهد. آنگاه کران پایین کمیت زیر بر همهٔ انتخاب‌های ممکن ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ کمینه می‌شود: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}[S(\rho _{AE})+S(\rho _{BE})-S(\rho _{E})-S(\rho _{ABE})],}$$ ^[۵۳]

همان‌طور که تابع آنتروپی شانون یکی از اعضای خانوادهٔ آنتروپی رنی کلاسیک است، آنتروپی فون نیومان نیز قابل تعمیم به آنتروپی‌های رنی کوانتومی است: $${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )={\frac {1}{1-\alpha }}\ln[\operatorname {tr} \rho ^{\alpha }]={\frac {1}{1-\alpha }}\ln \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{\alpha }.}$$ در حدی که ${\displaystyle \alpha \to 1}$، این رابطه آنتروپی فون نیومان را بازمی‌گرداند. آنتروپی‌های رنی کوانتومی برای حالت‌های حاصل‌ضرب، جمع‌پذیرند و برای هر ${\displaystyle \alpha }$، آنتروپی ${\displaystyle S_{\alpha }}$ برای حالت‌های خالص صفر و برای حالت کاملاً آمیخته بیشینه است. برای هر حالت ${\displaystyle \rho }$، ${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )}$ تابعی پیوسته و غیر‌افزایشی از پارامتر ${\displaystyle \alpha }$ است. یک نسخهٔ ضعیف از خاصیت زیرجمعی بودن را می‌توان اثبات کرد: $${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})-S_{0}(\rho _{B})\leq S_{\alpha }(\rho _{AB})\leq S_{\alpha }(\rho _{A})+S_{0}(\rho _{B}).}$$ در اینجا، ${\displaystyle S_{0}}$ نسخهٔ کوانتومی تابع هارتلی است، یعنی لگاریتم رتبهٔ ماتریس چگالی.^[۵۴]