ابوجعفر خازن خراسانی

خازن به عنوان نویسنده اثر نجومی زیج الصفیحه («جداول صفحه‌های اسطرلاب») شناخته می‌شود که توسط اخترشناسان بعدی بسیار مورد تحسین قرار گرفت. در این اثر، ابزارهای نجومی پیشرفته‌ای توصیف شده است، از جمله نوعی اسطرلاب منحصربه‌فرد با صفحه‌هایی که جداول و توضیحات مربوط به آن‌ها را دربرداشت. نسخه‌ای از این ابزار در آلمان نگهداری می‌شد، اما در جریان جنگ جهانی دوم از بین رفت و تنها عکسی از آن باقی مانده است.^[۱]

خازن همچنین شرحی بر المجسطی بطلمیوس نوشت، اما ابوریحان بیرونی آن را به دلیل پرگویی بیش از حد مورد انتقاد قرار داد. تنها یک بخش از این شرح باقی مانده است که شامل بحث دربارهٔ کروی بودن کیهان و ۱۹ قضیه هندسی است که بخشی از آن‌ها بر اساس آثار ارشمیدس است. از جمله این قضایا، اثباتی زیبا وجود دارد که نشان می‌دهد در میان مثلث‌هایی با محیط یکسان، مثلث متساوی‌الاضلاع بیشترین مساحت را دارد. با این حال، تلاش‌های او برای تعمیم این موضوع به چندضلعی‌ها با اثبات‌های نادرستی همراه بود.^[۱]

یکی از دستاوردهای مهم خازن، نقد مدل زمین‌مرکزی بطلمیوس بود. او استدلال کرد که اگر خورشید در مداری دایره‌ای به دور نقطه‌ای غیر از زمین حرکت کند، قطر ظاهری آن باید در طول سال تغییر کند. از آنجا که او چنین تغییراتی را مشاهده نکرد، مدل جایگزینی به نام نقطه اعتدال (Equant) را پیشنهاد داد. در این مدل، خورشید در مداری دایره‌ای به مرکزیت زمین حرکت می‌کند، اما با سرعتی غیریکنواخت که از نقطه‌ای خارج از مرکز (نقطه اعتدال) یکنواخت به نظر می‌رسد.^[۱]

در ریاضیات، خازن در زمینه نظریه اعداد فعالیت می‌کرد. فعالیت‌های او احتمالاً از آثار ابومحمود خجندی الهام گرفته بود که ادعا کرده بود حل معادله ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ (حالت ${\displaystyle n=3}$ قضیه آخر فرما) در اعداد صحیح غیرممکن است. خازن در نامه‌ای اثبات خجندی را رد کرد و آن را «اشتباه و ناقص» خواند. این موضوع سرآغاز مکاتبات ریاضی میان ریاضی‌دانان عرب آن دوره شد.^[۱]

خازن به حل مسائل مربوط به سه‌تایی فیثاغورسی پرداخت. او ثابت کرد که در یک سه‌تایی فیثاغورسی، هر دو ساق نمی‌توانند فرد باشند. او همچنین معادلات سیاله درجه دوم به شکل ${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=X^{2}}$ را بررسی کرد.

در رساله خازن قضایای متعددی دربارهٔ نمایش اعداد به صورت مجموع مربعات و اثبات آن‌ها یافت می‌شود. برای مثال:^[۲]

• اگر عددی به صورت مجموع دو مربع تجزیه شود، مربع آن نیز به صورت مجموع دو مربع تجزیه می‌شود.
• اگر هر یک از دو عدد به صورت مجموع مربعات تجزیه شوند، حاصل‌ضرب آن‌ها به دو روش مختلف به صورت مجموع مربعات قابل تجزیه است. به‌طور خاص، خازن یکی از اولین موارد شناخته‌شده از اتحاد Brahmagupta–Fibonacci را ارائه داد:

${\displaystyle (p^{2}+q^{2})(r^{2}+s^{2})=(pr+qs)^{2}+(ps-qr)^{2}=(pr-qs)^{2}+(ps+qr)^{2}}$

یکی از نتایج کلیدی او این مسئله بود: با فرض عدد طبیعی ${\displaystyle a}$، اعداد طبیعی ${\displaystyle x,y,z}$ را طوری بیابید که در شرایط زیر صدق کنند: ${\displaystyle x^{2}+a=y^{2}}$ و ${\displaystyle x^{2}-a=z^{2}}$^[۱] خازن ثابت کرد که این مسئله تنها زمانی امکان‌پذیر است که ${\displaystyle a=2uv}$ و ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=x^{2}}$ برای اعداد طبیعی ${\displaystyle u}$ و ${\displaystyle v}$ برقرار باشد.

در آثار او یکی از اولین نمونه‌های هم‌نهشتی چندجمله‌ای ثبت شده است. او هم‌نهشتی درجه دوم ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {5}}}$ را بررسی و جواب‌های آن را پیدا کرد.^[۲]

خازن همچنین اعداد حقیقی را مطالعه کرد. او تعریف زیر را برای مقادیر گنگ و گویا ارائه داد:^[۳]

فرض کنید مقدار واحد یک یا چند بار در مقدار داده‌شده موجود باشد، آنگاه این مقدار داده‌شده با یک عدد صحیح مطابقت دارد… هر مقداری که نصف، یا یک‌سوم، یا یک‌چهارم مقدار واحد باشد، یا در مقایسه با مقدار واحد، سه‌پنجم آن باشد، یک مقدار گویا است. و به‌طور کلی، هر مقداری که نسبتش با واحد مانند نسبت یک عدد به عدد دیگر باشد، گویا است. اما اگر مقداری را نتوان به صورت مضربی (m) یا جزئی (1/n) یا اجزائی (m/n) از طول واحد بیان کرد، آن مقدار گنگ است، یعنی جز با کمک ریشه‌ها قابل بیان نیست.