تقویت‌کننده با بازخورد منفی

در زیر، بهره ولتاژ تقویت‌کننده با بازخورد، یعنی بهره حلقه‌بسته A_FB، برحسب بهره تقویت‌کننده بدون بازخورد، بهره حلقه‌باز A_OL و ضریب بازخورد β، که میزان سیگنال خروجی اعمال شده به ورودی را تعیین می‌کند، بدست آمده است (شکل ۱ را ببینید). بهره حلقه باز A_OL به‌طور کلی می‌تواند تابعی از فرکانس و ولتاژ باشد؛ پارامتر بازخورد β توسط شبکه بازخوردی که به اطراف تقویت‌کننده متصل است _، تعیین می‌شود. برای یک تقویت‌کننده عملیاتی، دو مقاومت که یک مقسم ولتاژ تشکیل می‌دهند، می‌توانند برای شبکه بازخورد استفاده شوند تا β بین ۰ و ۱ تنظیم شود. این شبکه را می‌توان با استفاده از عناصر راکتیو مانند خازن‌ها یا سلف‌ها اصلاح کرد تا (الف) بهره حلقه بسته وابسته به فرکانس مانند مدارهای متعادل‌سازی/کنترل-تُن ایجاد شود یا (ب) نوسان‌ساز ساخته شود. بهره تقویت‌کننده با بازخورد در مورد یک تقویت‌کننده ولتاژ با بازخورد ولتاژ، در زیر استخراج شده است.

بدون بازخورد، ولتاژ ورودی ${\displaystyle V'_{\text{in}}}$ مستقیماً به ورودی تقویت‌کننده اعمال می‌شود. ولتاژ خروجی مطابق است با:

${\displaystyle V_{\text{out}}=A_{\text{OL}}\cdot V'_{\text{in}}.}$

حال فرض کنید که یک حلقه بازخورد تضعیف‌کننده، کسری را اعمال می‌کند ${\displaystyle \beta \cdot V_{\text{out}}}$ خروجی را به یکی از ورودی‌های تفریق‌گر اعمال کنید تا از ولتاژ ورودی مدار ${\displaystyle V_{\text{in}}}$ که به ورودی تفریق‌گر دیگر اعمال می‌شود، کم شود. نتیجه تفریق اعمال شده به ورودی تقویت‌کننده برابر است با:

${\displaystyle V'_{\text{in}}=V_{\text{in}}-\beta \cdot V_{\text{out}}.}$

با جایگزینی ${\displaystyle V'_{\text{in}}}$ در عبارت اول، داریم:

${\displaystyle V_{\text{out}}=A_{\text{OL}}(V_{\text{in}}-\beta \cdot V_{\text{out}}).}$

با بازچینش:

${\displaystyle V_{\text{out}}(1+\beta \cdot A_{\text{OL}})=V_{\text{in}}\cdot A_{\text{OL}}.}$

سپس بهره تقویت‌کننده با بازخورد، که بهره حلقه بسته، A_FB نامیده می‌شود _، به صورت زیر داده می‌شود:

${\displaystyle A_{\text{FB}}={\frac {V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta \cdot A_{\text{OL}}}}.}$

اگر A_OL ≫ ۱ باشد، آنگاه A_FB ≈ ۱/β است و تقویت مؤثر (یا بهره حلقه بسته) A_FB توسط ثابت بازخورد β تنظیم می‌شود و از این رو توسط شبکه بازخورد، معمولاً یک شبکه ساده و تکرارپذیر، تنظیم می‌شود، بنابراین خطی‌سازی و پایدارسازی مشخصه‌های تقویت را ساده می‌کند. اگر شرایطی وجود داشته باشد که در آن ${\displaystyle \beta \times A_{OL}=-1}$ باشد، تقویت‌کننده دارای تقویت بی‌نهایت است - به یک نوسان‌ساز تبدیل شده است و سیستم ناپایدار است. ویژگی‌های پایداری حاصلضرب بازخورد بهره ${\displaystyle \beta \times A_{OL}}$ اغلب روی نمودار نایکوئیست (نمودار قطبی جابجایی بهره/فاز به عنوان تابعی پارامتری از فرکانس) نمایش داده شده و بررسی می‌شوند. یک فنّ ساده‌تر، اما کمتر عمومی، از نمودارهای بود استفاده می‌کند.

ترکیب ${\displaystyle -\beta \times A_{OL}=L}$ معمولاً در تحلیل بازخورد ظاهر می‌شود و بهره حلقه نامیده می‌شود. ترکیب ${\displaystyle (\beta .A_{OL}+1)}$ نیز معمولاً ظاهر می‌شود و به صورت‌های مختلف به عنوان ضریب عدم حساسیت، اختلاف بازگشت یا ضریب بهبود نامگذاری می‌شود.^[۱۰]

• بهره حلقه باز = ${\displaystyle A_{\text{OL}}}$^{[۱۱][۱۲][۱۳][۱۴]}
• بهره حلقه بسته = ${\displaystyle {\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta \cdot A_{\text{OL}}}}}$
• ضریب بازخورد = ${\displaystyle \beta }$
• بهره نویز = ${\displaystyle 1/\beta }$
• بهره حلقه = ${\displaystyle -\beta \cdot A_{\text{OL}}}$
• ضریب عدم حساسیت = ${\displaystyle 1+\beta \cdot A_{\text{OL}}}$

بازخورد می‌تواند برای گسترش پهنای‌باند یک تقویت‌کننده با هزینه کاهش بهره تقویت‌کننده استفاده شود.^[۱۵] شکل ۲ چنین مقایسه‌ای را نشان می‌دهد. شکل به صورت زیر قابل درک است. بدون بازخورد، بهره حلقه باز در این مثال دارای پاسخ فرکانسی تک ثابت زمانی است که به صورت زیر داده می‌شود:

${\displaystyle A_{\text{OL}}(f)={\frac {A_{0}}{1+jf/f_{\text{C}}}},}$

که در آن f_C فرکانس قطع یا گوشه تقویت‌کننده است: در این مثال f_C برابر ۱۰۴هرتز، و بهره در فرکانس صفر A0 برابر ۱۰۵ (ولت/ولت) است. شکل نشان می‌دهد که بهره تا فرکانس گوشه ثابت است و سپس کاهش می‌یابد. وقتی بازخورد وجود داشته باشد، بهره حلقه بسته، همان‌طور که در فرمول بخش قبل نشان داده شده است، به صورت زیر می‌شود:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{FB}}(f)&={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}}\\&={\frac {A_{0}/(1+jf/f_{\text{C}})}{1+\beta A_{0}/(1+jf/f_{\text{C}})}}\\&={\frac {A_{0}}{1+jf/f_{\text{C}}+\beta A_{0}}}\\&={\frac {A_{0}}{(1+\beta A_{0})\left(1+j{\frac {f}{(1+\beta A_{0})f_{\text{C}}}}\right)}}.\end{aligned}}}$

آخرین عبارت نشان می‌دهد که تقویت‌کننده بازخورد هنوز رفتار تک ثابت زمانی دارد، اما فرکانس گوشه اکنون با ضریب بهبود (۱ + β A₀) افزایش یافته است و بهره در فرکانس صفر دقیقاً با همان ضریب کاهش یافته است. این رفتار ، بده‌بستان بهره-پهنای‌باند نامیده می‌شود. در شکل ۲، (۱ + β A₀) برابر ۱۰^۳، بنابراین A_FB(0) برابر ۱۰^۵/۱۰^۳ که برابر ۱۰۰ (V/V)، و f_C به ۱۰۴ × ۱۰^۳ که برابر ۱۰^۷ هرتز است، افزایش می‌یابد.

وقتی بهره حلقه بسته به جای یک قطب در مثال بالا، چندین قطب داشته باشد، بازخورد می‌تواند منجر به قطب‌های مختلط (بخش‌های حقیقی و موهومی) شود. در حالت دو قطبی، نتیجه، اوج گرفتن پاسخ فرکانسی تقویت‌کننده بازخورد در نزدیکی فرکانس گوشه آن و حلقه‌زنی و فراجهش در پاسخ پله آن است. در حالتی که بیش از دو قطب وجود داشته باشد، تقویت‌کننده با بازخورد می‌تواند ناپایدار شده و نوسان کند. به بحث حاشیه بهره و حاشیه فاز مراجعه کنید. برای بحث کامل، به سانسن مراجعه کنید.^[۱۶]

اولین قدم، جایگزینی شبکه بازخورد با یک شبکه دوقطبی است. دقیقاً چه اجزایی به دوقطبی وصل می‌شوند؟

در سمت ورودی دوقطبی، R_f را داریم. اگر ولتاژ در سمت راست R_f تغییر کند، جریان R_f را که از جریان ورودی به بیس ترانزیستور ورودی کم می‌شود، تغییر می‌دهد؛ یعنی، سمت ورودی دوقطبی، یک منبع جریان وابسته است که توسط ولتاژ در بالای مقاومت R₂ کنترل می‌شود.

می‌توان گفت که طبقه دوم تقویت‌کننده فقط یک ولتاژ پیرو است که ولتاژ کلکتور ترانزیستور ورودی را به بالای R₂ منتقل می‌کند؛ یعنی، سیگنال خروجی تحت نظارت در واقع ولتاژ کلکتور ترانزیستور ورودی است. این دیدگاه درست است، اما در این صورت طبقهٔ ولتاژ پیرو بخشی از شبکهٔ بازخورد می‌شود. این امر تحلیل بازخورد را پیچیده‌تر می‌کند.

یک دیدگاه جایگزین این است که ولتاژ در بالای R₂ توسط جریان امیتر ترانزیستور خروجی تنظیم می‌شود. این دیدگاه منجر به یک شبکه بازخورد کاملاً غیرفعال متشکل از R₂ و R_f می‌شود. متغیر کنترل‌کننده بازخورد، جریان امیتر است، بنابراین بازخورد یک منبع جریان کنترل‌شده با جریان (CCCS) است. ما چهار شبکه دوقطبی موجود را جستجو می‌کنیم و تنها شبکه‌ای که دارای CCCS است را پیدا می‌کنیم، شبکه دوقطبی با پارامتر g که در شکل ۴ نشان داده شده است. وظیفه بعدی انتخاب پارامترهای g به گونه‌ای است که دوقطبی شکل ۴ از نظر الکتریکی معادل بخش L متشکل از R₂ و R_f باشد. این انتخاب یک رویه جبری است که به سادگی با بررسی دو حالت جداگانه انجام می‌شود: حالتی که V₁ = ۰ است، که باعث می‌شود VCVS در سمت راست دوقطبی اتصال کوتاه شود؛ و حالتی که I₂ = ۰ است. که باعث می‌شود CCCS در سمت چپ به یک مدار باز تبدیل شود. جبر در این دو مورد ساده است، بسیار آسان‌تر از حل‌کردن همه متغیرها به‌طور همزمان. انتخاب پارامترهای g که باعث می‌شوند دوقطبی و بخش L رفتار یکسانی داشته باشند، در جدول زیر نشان داده شده است.

g11	g12	g21	g22
${\displaystyle {\frac {1}{R_{\mathrm {f} }+R_{2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {f} }}}}$	${\displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {f} }}}}$	${\displaystyle R_{2}||R_{\mathrm {f} }\ }$

شکل ۳ گره خروجی را نشان می‌دهد، اما انتخاب متغیر خروجی را نشان نمی‌دهد. یک انتخاب مفید، خروجی جریان اتصال کوتاه تقویت‌کننده است (که منجر به بهره جریان اتصال کوتاه می‌شود). از آنجا که این متغیر به سادگی به هر یک از انتخاب‌های دیگر (مثلاً ولتاژ بار یا جریان بار) منجر می‌شود، بهره جریان اتصال کوتاه در زیر آمده است.

ابتدا بهره حلقه-باز بارگذاری‌شده محاسبه می‌شود. با تنظیم g₁₂ = g₂₁ = ۰، بازخورد خاموش می‌شود. ایده این است که بفهمیم بهره تقویت‌کننده به دلیل وجود مقاومت‌های موجود در شبکه بازخورد به تنهایی، با خاموش بودن بازخورد، چقدر تغییر می‌کند. این محاسبه بسیار آسان است زیرا R_{11 ،} R_B و r_π1 همگی موازی هستند و v₁ = v_π. فرض کنید R₁ = R₁₁ || R_B || r_π1 باشد. علاوه بر این، i₂ = −(β+1) i_B است. نتیجه برای بهره جریان حلقه باز A_OL به صورت زیر است:

${\displaystyle A_{\mathrm {OL} }={\frac {\beta i_{\mathrm {B} }}{i_{\mathrm {S} }}}=g_{m}R_{\mathrm {C} }\left({\frac {\beta }{\beta +1}}\right)\left({\frac {R_{1}}{R_{22}+{\frac {r_{\pi 2}+R_{\mathrm {C} }}{\beta +1}}}}\right)\ .}$

در رویکرد کلاسیک به بازخورد، از پیش‌خورد نمایش داده شده توسط VCVS (یعنی g₂₁ v_{1 )} صرف نظر می‌شود.^[۳۶] این باعث می‌شود مدار شکل ۵ شبیه نمودار بلوکی شکل ۱ باشد، و بهره با بازخورد برابر است با:

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A_{\mathrm {OL} }}{1+{\beta }_{\mathrm {FB} }A_{\mathrm {OL} }}}}$

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A_{\mathrm {OL} }}{1+{\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {f} }}}A_{\mathrm {OL} }}}\ ,}$

که در آن، ضریب بازخورد β_FB = −g₁₂ است. نماد β_FB برای ضریب بازخورد معرفی شده است تا آن را از β ترانزیستور متمایز کند.

از بازخورد برای تطبیق بهتر منابع سیگنال با بارهایشان استفاده می‌شود. برای مثال، اتصال مستقیم یک منبع ولتاژ به یک بار مقاومتی ممکن است منجر به افت سیگنال به دلیل تقسیم ولتاژ شود، اما قرار دادن یک تقویت‌کننده با بازخورد منفی می‌تواند بار ظاهری دیده شده توسط منبع را افزایش داده و امپدانس ظاهری راه‌انداز دیده شده توسط بار را کاهش دهد و از تضعیف سیگنال توسط تقسیم ولتاژ جلوگیری کند. این مزیت محدود به تقویت‌کننده‌های ولتاژ نیست، بلکه بهبودهای مشابهی در تطبیق را می‌توان برای تقویت‌کننده‌های جریان، تقویت‌کننده‌های هدایت‌اِنتقالی و تقویت‌کننده‌های مقاومت‌اِنتقالی نیز ترتیب داد.

برای توضیح این اثرات بازخورد بر امپدانس‌ها، ابتدا گریزی به چگونگی رویکرد نظریه دوقطبی به تعیین مقاومت و سپس کاربرد آن در تقویت‌کننده مورد نظر می‌زنیم.