مدل بهره مجانبی

ساده‌ترین راه این است که با پیدا کردن نسبت بازگشت T شروع کنیم، زیرا G₀ و _∞G به عنوان شکل‌های حدی بهره تعریف می‌شوند، زیرا T به سمت صفر یا بی‌نهایت میل می‌کند. برای در نظر گرفتن این حدود، لازم است بدانیم T به چه پارامترهایی بستگی دارد. در این مدار فقط یک منبع وابسته وجود دارد، بنابراین به عنوان نقطه شروع، نسبت بازگشت مربوط به این منبع همان‌طور که در مقاله مربوط به نسبت بازگشت ذکر شده است، تعیین می‌شود.

نسبت بازگشت با استفاده از شکل ۵ محاسبه می‌شود. در شکل ۵، منبع جریان ورودی روی صفر تنظیم می‌شود. با قطع منبع وابسته از سمت خروجی مدار و اتصال‌کوتاه کردن پایانه‌های آن، سمت خروجی مدار از ورودی ایزوله شده و حلقه بازخورد شکسته می‌شود. یک جریان آزمون i_t جایگزین منبع وابسته می‌شود. سپس جریان بازگشتی تولید شده در منبع وابسته توسط جریان آزمون محاسبه می‌شود. نسبت بازگشت برابر است با T = − i_r / i_t. با استفاده از این روش و با توجه به اینکه R_D موازی با r_O است، T به صورت زیر تعیین می‌شود:

${\displaystyle T=g_{\mathrm {m} }\left(R_{\mathrm {D} }\ ||r_{\mathrm {O} }\right)\approx g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {D} }\ ,}$

که در آن، تقریب در حالت رایج که r_O >> R_D است، دقیق است. با این رابطه، واضح است که حدهای T → ۰ یا ∞ در صورتی محقق می‌شوند که هدایت‌انتقالی g_m → ۰ یا ∞ باشد.^[۵]

یافتن بهره مجانبی _∞G بینشی ارائه می‌دهد و معمولاً می‌توان آن را با بررسی انجام داد. برای یافتن، _∞G در نظر می‌گیریم ∞→g_m و بهره حاصل را پیدا می‌کنیم. جریان درین، i_D = g_m.v_GS، باید محدود باشد. از این رو، با نزدیک شدن g_m به بی‌نهایت، v_GS نیز باید به صفر نزدیک شود. از آنجایی که منبع زمین شده است، v_GS = ۰ به معنای v_G = ۰ نیز هست.^[۶] با v_G = ۰ و این واقعیت که تمام جریان ورودی از R_f عبور می‌کند (زیرا فِت دارای امپدانس ورودی بی‌نهایت است)، ولتاژ خروجی به سادگی برابر با i_in R_f− است. از این رو

${\displaystyle G_{\infty }={\frac {v_{\mathrm {out} }}{i_{\mathrm {in} }}}=-R_{\mathrm {f} }\ .}$

از طرف دیگر، _∞G بهره‌ای است که با جایگزینی ترانزیستور با یک تقویت‌کننده ایده‌آل با بهره بی‌نهایت - یک پوچ‌ساز به دست می‌آید.^[۷]

برای یافتن مسیر توگذری مستقیم ${\displaystyle G_{0}}$ ما به سادگی فرض می‌کنیم g_m → ۰ باشد و بهره حاصل را محاسبه می‌کنیم؛ بنابراین جریان‌های عبوری _از R_f و ترکیب موازی R_D || r_O باید یکسان و برابر با i_in باشند؛ بنابراین ولتاژ خروجی i_in (R_D || r_O ) است.

از این رو

${\displaystyle G_{0}={\frac {v_{out}}{i_{in}}}=R_{D}\|r_{O}\approx R_{D}\ ,}$

که در آن، تقریب در حالت معمول دقیق است، جایی که r_O >> R_D است.

بنابراین، بهره کلی مقاومت‌انتقالی این تقویت‌کننده برابر است با:

${\displaystyle G={\frac {v_{out}}{i_{in}}}=-R_{f}{\frac {g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{D}}}+R_{D}{\frac {1}{1+g_{m}R_{D}}}={\frac {R_{D}\left(1-g_{m}R_{f}\right)}{1+g_{m}R_{D}}}\ .}$

با بررسی این معادله، به نظر می‌رسد که بزرگ کردن R_D برای نزدیک شدن بهره کلی به بهره مجانبی مفید باشد، که باعث می‌شود بهره نسبت به پارامترهای تقویت‌کننده (g_m و R_D) غیرحساس باشد. علاوه بر این، یک جمله اول بزرگ، اهمیت ضریب توگذری مستقیم را کاهش می‌دهد که باعث کاهش عملکرد تقویت‌کننده می‌شود. یک راه برای افزایش R_D جایگزینی این مقاومت با یک بار فعال، به عنوان مثال، یک آینه جریان است.

مدار تعیین نسبت بازگشت در پنل بالای شکل ۷ نشان داده شده است. برچسب‌ها _، جریان‌ها را در شاخه‌های مختلف، همان‌طور که با استفاده از ترکیبی از قانون اهم و قوانین کیرشهف به‌دست آمده‌اند _، نشان می‌دهند. مقاومت R1 = R_B // r_π1 و R3 = R_C2 // R_L. کی‌وی‌ال از زمین R₁ به زمین R_{2 ،} مقادیر زیر را ارائه می‌دهد:

${\displaystyle i_{\mathrm {B} }=-v_{\pi }{\frac {1+R_{2}/R_{1}+R_{\mathrm {f} }/R_{1}}{(\beta +1)R_{2}}}\ .}$

کی‌وی‌ال ولتاژ کلکتور را در بالای R_C به صورت زیر به‌دست می‌آورد:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }=v_{\pi }\left(1+{\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}\right)-i_{\mathrm {B} }r_{\pi 2}\ .}$

در نهایت، KCL در این کلکتور به‌دست می‌آورد

${\displaystyle i_{\mathrm {T} }=i_{\mathrm {B} }-{\frac {v_{\mathrm {C} }}{R_{\mathrm {C} }}}\ .}$

با جایگذاری معادله اول در معادله دوم و معادله دوم در معادله سوم، نسبت بازده به صورت زیر به‌دست می‌آید:

${\displaystyle T=-{\frac {i_{\mathrm {R} }}{i_{\mathrm {T} }}}=-g_{\mathrm {m} }{\frac {v_{\pi }}{i_{\mathrm {T} }}}}$

${\displaystyle ={\frac {g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {C} }}{\left(1+{\frac {R_{\mathrm {f} }}{R_{1}}}\right)\left(1+{\frac {R_{\mathrm {C} }+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{2}}}\right)+{\frac {R_{\mathrm {C} }+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{1}}}}}\ .}$

مدار تعیین G₀ در پنل مرکزی شکل ۷ نشان داده شده است. در شکل ۷، متغیر خروجی، جریان خروجی β.i_B (جریان بار اتصال‌کوتاه) است که منجر به بهره جریان اتصال‌کوتاه تقویت‌کننده، یعنی ${\displaystyle \beta i_{B}/i_{S}}$ می‌شود:

${\displaystyle G_{0}={\frac {\beta i_{B}}{i_{S}}}\ .}$

با استفاده از قانون اهم، ولتاژ در بالای R₁ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

${\displaystyle (i_{S}-i_{R})R_{1}=i_{R}R_{f}+v_{E}\ \ ,}$

یا، با بازچینش جملات،

${\displaystyle i_{S}=i_{R}\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)+{\frac {v_{E}}{R_{1}}}\ .}$

استفاده از KCL در بالای R₂:

${\displaystyle i_{R}={\frac {v_{E}}{R_{2}}}+(\beta +1)i_{B}\ .}$

ولتاژ امیتر v_E از قبل بر حسب i_B از نمودار شکل ۷ مشخص است. با جایگذاری معادله دوم در معادله اول، i_B تنها بر حسب i_S تعیین می‌شود و G₀ به صورت زیر در می‌آید:

${\displaystyle G_{0}={\frac {\beta }{(\beta +1)\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)+(r_{\pi 2}+R_{C})\left[{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)\right]}}}$

بهره G₀ نشان دهنده پیش‌خورد از طریق شبکه بازخورد است و معمولاً ناچیز است.

مدار تعیین G _∞ در پنل پایین شکل ۷ نشان داده شده است. معرفی آپ امپ ایده‌آل (یک nullor) در این مدار به شرح زیر توضیح داده شده است. وقتی T → ∞ باشد، بهره تقویت‌کننده نیز به بی‌نهایت می‌رود و در چنین حالتی ولتاژ تفاضلی محرک تقویت‌کننده (ولتاژ دو سر ترانزیستور ورودی r _π1) به صفر می‌رسد و (طبق قانون اهم وقتی ولتاژی وجود ندارد) هیچ جریان ورودی نمی‌کشد. از سوی دیگر، جریان و ولتاژ خروجی هر چه مدار بخواهد، هستند. این رفتار مانند یک nullor است، بنابراین می‌توان یک nullor را برای نمایش ترانزیستور با بهره بی‌نهایت معرفی کرد.

بهره جریان مستقیماً از روی طرح‌واره خوانده می‌شود:

${\displaystyle G_{\infty }={\frac {\beta i_{B}}{i_{S}}}=\left({\frac {\beta }{\beta +1}}\right)\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}}\right)\ .}$

با استفاده از مدل کلاسیک، از پیش‌خورد صرف نظر می‌شود و ضریب بازخورد β_FB برابر است با (با فرض ترانزیستور β >> ۱):

${\displaystyle \beta _{FB}={\frac {1}{G_{\infty }}}\approx {\frac {1}{(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}})}}={\frac {R_{2}}{(R_{f}+R_{2})}}\ ,}$

و بهره حلقه باز A برابر است با:

${\displaystyle A=G_{\infty }T\approx {\frac {\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{2}}}\right)g_{m}R_{C}}{\left(1+{\frac {R_{f}}{R_{1}}}\right)\left(1+{\frac {R_{C}+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{2}}}\right)+{\frac {R_{C}+r_{\pi 2}}{(\beta +1)R_{1}}}}}\ .}$

عبارات فوق را می‌توان در معادله مدل بهره مجانبی جایگزین کرد تا بهره کلی G را پیدا کرد. بهره حاصل، بهره جریان تقویت‌کننده با بار اتصال‌کوتاه است.