حلقه صحیح‌ها

در ریاضیات، حلقه صحیح‌ها (به انگلیسی: Ring of Integers) از یک میدان عددی چون ${\displaystyle K}$، حلقه صحیح‌های جبری عضو ${\displaystyle K}$ اند.^[۱] یک عنصر صحیح جبری، ریشه‌ای از چندجمله‌ای تکین (چندجمله‌ای تک‌متغیره با ضریب پیشروی ۱) با ضرایب اعداد صحیح است: ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$.^[۲] این حلقه را اغلب با نمادهای ${\displaystyle O_{K}}$ یا ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ نشان می‌دهند. از آنجا که هر عدد صحیح به ${\displaystyle K}$ متعلق بوده و عنصر صحیحی از ${\displaystyle K}$ است، حلقه ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ نیز همیشه زیرحلقه‌ای از ${\displaystyle O_{K}}$ است.

حلقه اعداد صحیح ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ساده‌ترین حلقه ممکن از صحیح‌ها است.^[الف] در حقیقت ${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$ که در آن ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ میدان اعداد گویا است.^[۳] و بر همین اساس در نظریه جبری اعداد برخی مواقع به عناصر ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ «صحیح‌های گویا» نیز گفته می‌شود.

ساده‌ترین مثال بعدی، حلقه صحیح‌های گاوسی ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[i\right]}$ است که شامل اعداد مختلطی است که بخش حقیقی و موهومی آن اعداد صحیح می‌باشد. این حلقه، حلقه صحیح‌های میدان عددی ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ از اعداد مختلطی است که بخش‌های موهومی و حقیقی آن عضو اعداد گویا اند. این حلقه نیز همچون صحیح‌های گویا، یک حوزه اقلیدسی است.

حلقه صحیح‌ها از یک میدان عددی، مرتبه^[ب] ماکسیمال یکتایی از آن میدان است. همچنین این حلقه همیشه حوزه ددکیند است.^[۴]

حلقه اعداد صحیح OK یک ماژول Z است که به طور متناهی تولید شده است. در واقع، این یک ماژول Z آزاد است، و بنابراین دارای یک پایه انتگرال است، که مبنای b1، ...، bn ∈ OK فضای Q-بردار K است، به طوری که هر عنصر x در OK را می توان به صورت منحصر به فرد نشان داد.

با ai ∈ Z.[5] رتبه n OK به عنوان یک ماژول Z آزاد برابر با درجه K بر Q است.^[۵]