رابطه ترایا

در ریاضیات یک رابطه همگن R روی مجموعه X موقعی ترایا^[۱] (به انگلیسی: transitive relation) است که برای همه عناصر a, b، c در X، اگر a با b توسط R رابطه داشته باشد و همچنین این رابطه b را به c مرتبط کند، آنوقت رابطه R باید حتماً a را به c مرتبط کند.

روابط دوتایی ترایا

	متقارن	پادمتقارن	کانکس	خوش-بنیان	$\vee$ دارد	$\wedge$ دارد	بازتابی	غیربازتابی	نامتقارن
رابطه هم‌ارزی	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
پیش‌ترتییب (شبه‌ترتیب)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
ترتیب جزئی	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
پیش-ترتیب کلی	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
ترتیب کلی	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
پیش-خوش‌ترتیب	✗	✗	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
خوش-شبه-ترتیب	✗	✗	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✗
خوش‌ترتیب	✗	✓	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
مشبکه	✗	✓	✗	✗	✓	✓	✓	✗	✗
جوین-نیم-مشبکه	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✓	✗	✗
میت-نیم-مشبکه	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✓	✗	✗
جزئی‌مرتب قطعی	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
مجوعه ضعیف‌مرتب	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
ترتیب کلی قطعی	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✓
تعاریف: برای تمام $a$ و $b$ ها و $S\neq \varnothing$ :	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

علامت "✓" نشان‌دهنده آن است که ویژگی ستونی در تعریف آن سطر لازم است.
برای مثال تعریف رابطه هم‌ارزی لازم دارد تا متقارن باشد.
به صورت ضمنی همه این تعاریف ترایا و بازتابی می‌باشند. علامت "✗" نشان‌دهنده آن است که ویژگی به طور کلی تضمین نمی‌شود (می‌تواند برقرار باشد، یا نباشد).

تمام روابط بالا مستلزم آن است که رابطه همگون $R$ ترایا باشد: برای تمام $a$ و $b$ و $c$ ها، اگر $aRb$ و $bRc$ آنگاه $aRc$ .

ویژگی ترایابودن یکی از ویژگی‌های کلیدی در ترتیب جزئی و رابطه هم‌ارزی است.

ترایایی یا تعدی‌پذیری مانند بازتاب و تقارن یکی از ویژگی‌های برخی از رابطه‌ها است.^[۲] یک رابطهٔ ترایا، بازتابی و متقارن را رابطهٔ هم‌ارزی می‌گویند.^[۳] به گراف سودار‌ی که یک رابطهٔ ترایا را روی رأس‌هایش نمایش دهد گراف سودار ترایا می‌گویند.^[۴]

به زبان صوری می‌توان نوشت: $\forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$

بازی سنگ کاغذ قیچی بر اساس
ضد رابطهٔ متعدی محسوب می‌شود.

جستارهای وابسته

پانویس

↑ «رابطهٔ ترایا» [ریاضی] هم‌ارزِ «transitive relation»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ رابطهٔ ترایا)
↑ Chowdhary, Fundamentals of Discrete Mathematical Structures, 160.
↑ Itô, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 1331.
↑ Graph Theory with Applications to Enginnering with Computer Science, 200.

منابع

Graph Theory with Applications to Enginnering with Computer Science (به انگلیسی). PHI Learning Pvt. Ltd. 2004. Retrieved 2013-04-21.
Itô, Kiyosi (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (به انگلیسی). MIT Press. Retrieved 2013-04-21.
Chowdhary, K.R. Fundamentals of Discrete Mathematical Structures (به انگلیسی). PHI Learning Pvt. Ltd. Retrieved 2013-04-21.

[1] «رابطهٔ ترایا» [ریاضی] هم‌ارزِ «transitive relation»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ رابطهٔ ترایا)

[2] Chowdhary, Fundamentals of Discrete Mathematical Structures, 160.

[3] Itô, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 1331.

[4] Graph Theory with Applications to Enginnering with Computer Science, 200.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]