عدد نرمال

در ریاضیات، عدد نرمال (انگلیسی: Normal number) عددی حقیقی است که دنبالهٔ نامتناهی ارقام آن در هر مبنای عدد صحیح مثبت ${\displaystyle b}$ به شکلی همگن توزیع شده باشد، یعنی هر ارزش رقمی ${\displaystyle b}$ تراکم طبیعی ${\displaystyle {\tfrac {1}{b}}}$ داشته باشد و همچنین همهٔ جفت رقم‌های ممکن ${\displaystyle b^{2}}$ تراکم طبیعی ${\displaystyle b^{-2}}$، همهٔ ${\displaystyle b^{3}}$ تراکم طبیعی ${\displaystyle b^{-3}}$ و … داشته باشند. به عبارت ساده‌تر هیچ رقم یا ترکیب متناهی از ارقامی بیشتر از بقیه روی ندهد و این امر چه در مبنای ۱۰ و چه در مبناهای دیگر صدق کند. می‌توان ثابت کرد که تقریباً همهٔ اعداد حقیقی نرمال هستند. باور بر آن است که اعدادی مثل ریشه دوم ۲، عدد پی، و عدد e هم نرمال هستند، ولی هنوز اثباتی برای نرمال بودن این اعداد در دست نیست.

به صورت شهودی، نرمال ساده بودن یک عدد به این معنا است که هیچ رقمی بیش از ارقام دیگر تکرار نمی‌شود. اگر یک عدد نرمال باشد، هیچ ترکیب متناهی از ارقام با یک طول مشخص، بیش از سایر ترکیبات هم‌طول تکرار نمی‌شود. یک عدد نرمال را می‌توان به صورت یک دنبالهٔ نامتناهی از پرتاب سکه (در مبنای ۲) یا پرتاب تاس (در مبنای ۶) تصور کرد. حتی اگر توالی‌هایی مانند ۱۰، ۱۰۰ یا تعداد بیشتری «رو» ی (Tails) متوالی (در مبنای ۲) یا «شش» های (Fives) متوالی (در مبنای ۶) یا حتی ۱۰، ۱۰۰ یا بیشتر تکرار یک توالی مانند «رو-پشت» (دو پرتاب متوالی سکه) یا ۱–۶ (دو پرتاب متوالی تاس) وجود داشته باشد، به همان تعداد مساوی از هر توالی دیگری با طول برابر نیز وجود خواهد داشت. هیچ رقم یا توالی‌ای «برتری» ندارد. گفته می‌شود یک عدد نرمال است (که گاهی اوقات کاملاً نرمال یا Absolutely Normal نامیده می‌شود) اگر در تمام مبناهای صحیح بزرگتر یا مساوی ۲ نرمال باشد. در حالی که می‌توان یک اثبات کلی ارائه داد مبنی بر اینکه تقریباً تمام اعداد حقیقی نرمال هستند (به این معنی که مجموعه اعداد غیرنرمال دارای اندازه لبگ (Lebesgue measure) صفر است)، این اثبات غیرسازنده است و تنها برای چند عدد مشخص ثابت شده است که نرمال هستند. به عنوان مثال، هر ثابت چایتین (Chaitin's constant) نرمال است (و ناقابل محاسبه). اعتقاد گسترده‌ای وجود دارد که اعداد (قابل محاسبه) مانند عدد پی و عدد نپر نرمال هستند، اما اثبات آن هنوز به دست نیامده است.

• دنباله دبروین
• قضیه میمون نامتناهی
• کتابخانه بابل

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Normal number». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴ فوریه ۲۰۱۹.