عمق (نظریه حلقه‌ها)

در جبر جابجایی و جبر همولوژی، عمق ناوردایی مهم از حلقه‌ها و مدولهاست. گرچه که عمق را می‌توان به‌طور کلی تر تعریف کرد، رایج‌ترین حالتی که در نظر می‌گیرند، حالت مدول بر روی حلقه موضعی نوتری جابجایی است. در این حالت، عمق یک مدول توسط رابطه اوسلندر-بوکسباوم با بعد تصویری اش مرتبط شده است. خاصیت ساده‌تری از بعد یک مدول نابرابری زیر است:

${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),}$

که در آن ${\displaystyle \dim M}$ بعد کرول مدول ${\displaystyle M}$ است. از عمق برای تعریف دسته جات مختلفی از حلقه‌ها و مدول‌هایی با خواص مناسب استفاده شده است، مثل، حلقه‌ها و مدول‌های کوهن-مکالی که در موردشان نامساوی فوق تبدیل به تساوی می‌شود.

فرض کنید ${\displaystyle R}$ حلقه ای جابجایی باشد و ${\displaystyle I}$ ایده‌آلی از ${\displaystyle R}$ و ${\displaystyle M}$ یک ${\displaystyle R}$-مدول متناهی (متناهیاً تولید شده) با این خاصیت باشد که ${\displaystyle IM}$ زیر مجموعه محضی از ${\displaystyle M}$ باشد. آنگاه ${\displaystyle I}$-عمق ${\displaystyle M}$ که به آن درجه (به انگلیسی: grade) نیز گفته می‌شود، به صورت زیر تعریف می‌گردد:

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}.}$

براساس این تعریف، برای حلقه موضعی چون ${\displaystyle R}$ در ایده‌آل ماکسیمالی چون ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ در صورتی که به این حلقه از دید مدولی روی خودش نگاه شود، می‌توان مفهوم عمق را تعریف کرد. در این صورت عمق این حلقه همان ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-عمق آن به عنوان ${\displaystyle R}$-مدول است.

براساس قضیه ای از دیوید ریس، عمق را می‌توان با استفاده از مفهوم دنباله منظم نیز تعریف کرد.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Depth (Ring Theory)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.