فیلتر شانه‌ای

پاسخ فرکانسی یک سیستم زمان گسسته که در حوزه-z بیان می‌شود، با جایگزینی z = e^jΩ به دست می‌آید؛ بنابراین، برای فیلتر شانه‌ای پیش‌خورد:

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)=1+\alpha e^{-j\Omega K}}$

با استفاده از فرمول اویلر، پاسخ فرکانسی نیز توسط

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\Omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\Omega K)}$

اغلب مورد توجه پاسخ اندازه است که فاز را نادیده می‌گیرد. این چنین تعریف می‌شود:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\sqrt {\Re \left\{H\left(e^{j\Omega }\right)\right\}^{2}+\Im \left\{H\left(e^{j\Omega }\right)\right\}^{2}}}}$

در مورد فیلتر شانه‌ای پیش‌خورد، این به صورت زیر است:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)+2\alpha \cos(\Omega K)}}}$

جمله (۱ + α²) ثابت است، در حالی که عبارت ۲α cos(ΩK) به‌صورت متناوب تغییر می‌کند؛ بنابراین پاسخ اندازه فیلتر شانه‌ای دوره‌ای است.

فیلتر شانه‌ای پیش‌خوردی یکی از ساده‌ترین فیلترهای پاسخ ضربه محدود است.^[۳] پاسخ آن صرفاً ضربه اولیه با یک ضربه دوم پس از تأخیر است.

جایگزینی z = e^jΩ در عبارت حوزه-z برای فیلتر شانه‌ای بازخوردی:

${\displaystyle H\left(e^{j\Omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\Omega K}}}}$

پاسخ اندازه به شرح زیر است:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\Omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \cos(\Omega K)}}}}$

فیلتر شانه‌ای بازخوردی یک نوع ساده از فیلتر پاسخ ضربه نامتناهی است.^[۴] اگر پایدار باشد، پاسخ به سادگی شامل یک سری ضربه‌های تکراری است که در طول زمان دامنه آن کاهش می‌یابد.