مساحت دایره

با تقسیم دایره به چندین قطاع مساوی و چیدن آن‌ها به شکل متناوب، شکل حاصل به یک متوازی‌الأضلاع نزدیک می‌شود:

ارتفاع متوازی‌الأضلاع برابر \(r\) و ضلع بزرگ آن نصف محیط دایره است: ${\displaystyle {\frac {C}{2}}=\pi r}$. بنابراین مساحت دایره:

${\displaystyle A=r\cdot \pi r=\pi r^{2}}$

همچنین با استفاده از مختصات قطبی:

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r\,dr\,d\theta =\pi r^{2}}$

---

تقسیم دایره به حلقه‌های نازک (پیازی) و جمع مساحت‌ها:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&=2\pi \left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

---

با باز کردن نوارهای متحدالمرکز دایره، یک مثلث قائم‌الزاویه با ارتفاع \(r\) و قاعده \(2 \pi r\) ایجاد می‌شود:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Area}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\text{base}}\cdot {\text{height}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

دو زاویه مثلث به درجه: 9.0430611... و 80.956939... A233528 و به رادیان: 0.1578311... و 1.4129651...  A233527.

با استفاده از انتگرال دوگانه روی ناحیه دایره:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&=\iint _{D}1\,d(x,y)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}t\,dt\,d\theta \\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

---

با تقسیم دایره به نیم‌دایره‌ها و بازآرایی آن‌ها به شکل مستطیل، به آسانی می‌توان نشان داد که مساحت برابر ${\displaystyle \pi r^{2}}$ است. این روش دید بصری و شهودی برای درک مساحت دایره ارائه می‌دهد.

---