مجموعه ناشمارا

در ریاضیات، مجموعه ناشمارا (به انگلیسی: Uncountable Set) (یا مجموعه نامتناهیِ ناشمارا)،[۱] مجموعه‌ای نامتناهی است که شامل عناصر بسیار زیادی بوده، به گونه ای که قابل شمارش نباشند. ناشمارا بودن یک مجموعه، ارتباط نزدیکی با کاردینال آن مجموعه دارد: مجموعه‌ای ناشمارا است که کاردینال آن بیشتر از مجموعه اعداد طبیعی باشد.

توصیفات

بسیاری از توصیفات معادل برای غیرقابل شمارش بودن وجود دارد. مجموعه X غیرقابل شمارش است اگر و تنها در صورتی که یکی از شرایط زیر برقرار باشد:

  • از X به مجموعهٔ اعداد طبیعی تابع یک‌به‌یک وجود ندارد (بنابراین بدون تناظر دوسویه).
  • X خالی نیست و برای هر دنبالهٔ ω از عناصر X، حداقل یک عنصر از X وجود دارد که در آن گنجانده نشده است. یعنی X خالی است و هیچ تابعی از اعداد طبیعی به X وجود ندارد.
  • کاردینالیتی X نه متناهی است و نه مساوی است با (aleph-null).
  • مجموعه X دارای کاردینالیتی به شدت بیشتر از (aleph-null).

سه مورد اول از این مشخصه‌ها را می‌توان در نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل اصل موضوع انتخاب ثابت کرد، اما هم ارزی سوم و چهارم بدون اصول انتخاب اضافی قابل اثبات نیست.[۲]

ارجاعات

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Uncountably Infinite". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-09-05.
  2. ↑ "Uncountable set". Wikipedia (به انگلیسی). 2024-08-06.

کتابشناسی

  • Halmos, Paul، Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
  • Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

پیوند به بیرون

This article is issued from ویکی‌پدیا. The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.