نویز کوانتومی

نوفه یک سیگنال به صورت تبدیل فوریه خودهمبستگی آن کمیت‌سنجی می‌شود. خودهمبستگی یک سیگنال به صورت زیر داده می‌شود:

$${\displaystyle G_{vv}(t-t')=\langle V(t)V(t')\rangle ,}$$

که اندازه‌گیری می‌کند سیگنال ما در زمان‌های مختلف ${\displaystyle t}$ و ${\displaystyle t'}$ چه زمانی همبستگی مثبت، منفی یا بدون همبستگی دارد. میانگین زمانی، ${\displaystyle \langle V(t)\rangle }$، صفر است و ${\displaystyle V(t)}$ ما یک سیگنال ولتاژ است. تبدیل فوریه آن به صورت زیر است:

$${\displaystyle V(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}V(t)e^{i\omega t}dt}$$ زیرا ما ولتاژ را در یک پنجره زمانی محدود اندازه‌گیری می‌کنیم. قضیه وینر-خینشین به‌طور کلی بیان می‌کند که طیف توان یک نوفه، از طریق خودهمبستگی یک سیگنال به دست می‌آید، یعنی:

$${\displaystyle S_{vv}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}G_{vv}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle |V(\omega )|^{2}\rangle dt}$$

رابطه بالا گاهی طیف توان یا چگالی طیفی نامیده می‌شود. در طرح کلی بالا، ما فرض کرده‌ایم که:

• نوفه ما ایستا است یا احتمال آن در طول زمان تغییر نمی‌کند. تنها تفاوت زمانی اهمیت دارد.
• نوفه به دلیل تعداد بسیار زیادی از بارهای در حال نوسان است به طوری که قضیه حد مرکزی اعمال می‌شود، یعنی نوفه گاوسی یا دارای توزیع نرمال است.
• ${\displaystyle G_{vv}}$ به سرعت در طول زمان ${\displaystyle \tau _{c}}$ به صفر میل می‌کند.
• ما در یک زمان به اندازه کافی طولانی، ${\displaystyle T}$، نمونه‌برداری می‌کنیم به طوری که انتگرال ما مانند یک گام تصادفی ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$ مقیاس می‌شود؛ بنابراین ${\displaystyle V(\omega )}$ ما برای ${\displaystyle T\gg \tau _{c}}$ مستقل از زمان اندازه‌گیری‌شده است.
  به عبارت دیگر، ${\displaystyle G_{vv}(t-t')\to 0}$ زمانی که ${\displaystyle |t-t'|\gg \tau _{c}}$.

می‌توان نشان داد که یک سیگنال ایده‌آل «کلاهی» (top-hat)، که ممکن است متناظر با اندازه‌گیری محدود ولتاژ در یک بازه زمانی باشد، در کل طیف خود به صورت یک تابع سینک نوفه تولید می‌کند. حتی در حالت کلاسیک نیز نوفه تولید می‌شود.

نوفه کوانتومی را می‌توان با در نظر گرفتن یک میکروسکوپ هایزنبرگ که در آن موقعیت یک اتم از طریق پراکندگی فوتون‌ها اندازه‌گیری می‌شود، توضیح داد. اصل عدم قطعیت به صورت زیر داده می‌شود:

$${\displaystyle \Delta x_{imp}\Delta p_{BA}\gtrsim \hbar .}$$

که در آن ${\displaystyle \Delta x_{imp}}$ عدم قطعیت در موقعیت یک اتم و ${\displaystyle \Delta p_{BA}}$ عدم قطعیت تکانه یا آنچه گاهی پس‌کنش نامیده می‌شود (تکانه منتقل‌شده به اتم) در نزدیکی حد کوانتومی است. دقت اندازه‌گیری موقعیت را می‌توان به قیمت از دست دادن اطلاعات در مورد تکانه اتم افزایش داد. هنگامی که موقعیت به اندازه کافی دقیق مشخص شود، پس‌کنش به دو صورت بر اندازه‌گیری تأثیر می‌گذارد. اول، در موارد شدید، تکانه‌ای را به دستگاه‌های اندازه‌گیری بازمی‌گرداند. دوم، دانش ما از موقعیت آینده اتم کاهش می‌یابد. ابزار دقیق و حساس در محیط‌های به اندازه کافی کنترل‌شده به اصل عدم قطعیت نزدیک خواهند شد.

عدم قطعیت هایزنبرگ وجود نوفه را ایجاب می‌کند.^[۱۱] یک عملگر با مزدوج هرمیتی خود از رابطه ${\displaystyle AA^{\dagger }\geq 0}$ پیروی می‌کند. ${\displaystyle A}$ را به صورت ${\displaystyle A=\delta x+\lambda e^{i\theta }\delta y}$ تعریف می‌کنیم که در آن ${\displaystyle \lambda }$ حقیقی است. ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ عملگرهای کوانتومی هستند. می‌توانیم نشان دهیم که:

$${\displaystyle \langle \delta x^{2}\rangle \langle \delta y^{2}\rangle \geq {\frac {1}{4}}|\langle [\delta x,\delta y]\rangle |^{2}+|\langle [\delta x,\delta y]_{+}\rangle |^{2}}$$ که در آن ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ میانگین‌ها بر روی تابع موج و دیگر ویژگی‌های آماری هستند. عبارت‌های سمت چپ عدم قطعیت در ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ هستند، عبارت دوم در سمت راست کوواریانس یا ${\displaystyle \langle \delta x\delta y+\delta y\delta x\rangle }$ است که از جفت‌شدگی با یک منبع خارجی یا اثرات کوانتومی ناشی می‌شود. عبارت اول در سمت راست به رابطه جابه‌جایی مربوط است و اگر x و y جابه‌جا می‌شدند، حذف می‌شد. این همان منشأ نوفه کوانتومی ما است. برای روشن شدن مطلب، فرض می‌کنیم ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ به ترتیب متناظر با مکان و تکانه باشند که در رابطه جابه‌جایی معروف صدق می‌کنند، یعنی $${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$$. در این صورت عبارت جدید ما به شکل زیر خواهد بود:

$${\displaystyle \Delta x\Delta y\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\hbar ^{2}+\sigma _{xy}^{2}}}}$$

که در آن ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ همان همبستگی است. اگر جمله دوم در سمت راست صفر شود، به اصل عدم قطعیت هایزنبرگ می‌رسیم.

حرکت یک نوسانگر هماهنگ ساده با جرم ${\displaystyle M}$ و فرکانس ${\displaystyle \Omega }$ را در نظر بگیرید که به یک حمام حرارتی جفت شده است و سیستم را در تعادل نگه می‌دارد. معادلات حرکت به صورت زیر داده می‌شوند:

$${\displaystyle x(t)=x(0)\cos(\Omega t)+p(0){\frac {1}{M\Omega }}\sin(\Omega t)}$$

در این صورت، خودهمبستگی کوانتومی برابر است با:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{xx}&=\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle \\&=\langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \cos(\Omega t)+\langle {\hat {p}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \sin(\Omega t)\end{aligned}}}$$

به صورت کلاسیک، هیچ همبستگی بین مکان و تکانه وجود ندارد. اصل عدم قطعیت ایجاب می‌کند که جمله دوم ناصفر باشد. مقدار آن ${\displaystyle i\hbar /2}$ است. می‌توانیم از قضیه هم‌بخشی استفاده کنیم، یا این واقعیت که در حالت تعادل، انرژی به‌طور مساوی بین درجات آزادی یک مولکول/اتم در تعادل گرمایی توزیع می‌شود، یعنی:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}M\Omega ^{2}\langle x^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T}$$

در خودهمبستگی کلاسیک داریم:

$${\displaystyle G_{xx}={\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}\cos(\Omega t)\to S_{xx}(\omega )=\pi {\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}[\delta (\omega -\Omega )+\delta (\omega +\Omega )]}$$

در حالی که در خودهمبستگی کوانتومی داریم:

$${\displaystyle G_{xx}=\left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)\left\{n_{BE}(\hbar \Omega )e^{i\Omega t}+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]e^{-i\Omega t}\right\}\to S_{xx}(\omega )=2\pi \left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)[n_{BE}(\hbar \Omega )\delta (\omega -\Omega )+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]\delta (\omega +\Omega )]}$$

که در آن عبارت کسری داخل پرانتز، عدم قطعیت انرژی نقطه صفر است. ${\displaystyle n_{BE}}$ توزیع جمعیت بوز-اینشتین است. توجه کنید که ${\displaystyle S_{xx}}$ کوانتومی به دلیل خودهمبستگی موهومی، نامتقارن است. با افزایش دما، که متناظر با در نظر گرفتن حد ${\displaystyle k_{B}T\gg \hbar \Omega }$ است، می‌توان نشان داد که ${\displaystyle S_{xx}}$ کوانتومی به حالت کلاسیک خود نزدیک می‌شود. در این حالت می‌توان از تقریب ${\textstyle n_{BE}\approx n_{BE}+1\approx {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \Omega }}}$ استفاده کرد.

بیشتر سیستم‌های مخابرات نوری از مدولاسیون دامنه استفاده می‌کنند که در آن نوفه کوانتومی عمدتاً نوفه شات است. نوفه کوانتومی یک لیزر، بدون در نظر گرفتن نوفه شات، عدم قطعیت در دامنه و فاز میدان الکتریکی آن است. این عدم قطعیت زمانی قابل مشاهده می‌شود که یک تقویت‌کننده کوانتومی فاز را حفظ کند. نوفه فاز زمانی اهمیت می‌یابد که انرژی مدولاسیون فرکانس یا مدولاسیون فاز با انرژی سیگنال قابل مقایسه باشد (مدولاسیون فرکانس به دلیل نوفه افزایشی ذاتی در مدولاسیون دامنه، مقاوم‌تر از آن است).

در اپتیک دقیق با لیزرهای بسیار پایدار و آشکارسازهای کارآمد، نوفه کوانتومی به افت‌وخیزهای سیگنال اشاره دارد.

خطای تصادفی در اندازه‌گیری‌های تداخل‌سنجی موقعیت، که ناشی از ماهیت گسسته اندازه‌گیری فوتون‌ها است، نوع دیگری از نوفه کوانتومی است. عدم قطعیت موقعیت یک کاوشگر در میکروسکوپی کاوشگر نیز ممکن است به نوفه کوانتومی نسبت داده شود؛ اما این سازوکار غالب در تعیین تفکیک‌پذیری نیست.

در یک مدار الکتریکی، افت‌وخیزهای تصادفی یک سیگنال به دلیل ماهیت گسسته الکترون‌ها را می‌توان نوفه کوانتومی نامید.^[۱۱]

آزمایشی توسط س. سراف و همکاران^[۱۴] اندازه‌گیری‌های محدود به نوفه شات را به عنوان نمایشی از اندازه‌گیری‌های نوفه کوانتومی نشان داد. به‌طور کلی، آنها یک لیزر فضای آزاد ان‌دی:یاگ را با کمترین افزودن نوفه، در حین انتقال از تقویت خطی به غیرخطی، تقویت کردند. این آزمایش نیازمند یک تداخل‌سنج فابری-پرو برای فیلتر کردن نوفه‌های مُد لیزر و انتخاب فرکانس‌ها، دو باریکه کاوشگر و اشباع‌کننده جداگانه اما یکسان برای اطمینان از عدم همبستگی باریکه‌ها، یک محیط بهره به شکل تیغه زیگزاگ، و یک آشکارساز متعادل برای اندازه‌گیری نوفه کوانتومی یا نوفه محدود به نوفه شات بود.

پس‌کنش پدیده‌ای است که در آن عمل اندازه‌گیری یک ویژگی از یک ذره، مستقیماً بر حالت آن ذره تأثیر می‌گذارد.

در مکانیک کوانتومی، عملگرهایی که جابه‌جا نمی‌شوند، مشاهده‌پذیرهای ناسازگار در نظر گرفته می‌شوند و یک اصل عدم قطعیت مرتبط با خود دارند:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$

هنگام اندازه‌گیری این مشاهده‌پذیرها، این اصل یک عدم قطعیت حداقلی را برای مقادیر آنها تعیین می‌کند.

هر عملگر مشاهده‌پذیر مجموعه‌ای از ویژه‌حالت‌ها دارد. حالت اولیه یک سیستم، که توسط تابع موج توصیف می‌شود، یک ترکیب خطی از مجموعه کامل ویژه‌حالت‌های آن است. پس از اندازه‌گیری، فروریزش تابع موج رخ می‌دهد و تابع موج سیستم به یکی از ویژه‌حالت‌های آن مشاهده‌پذیر تبدیل می‌شود. سپس دوباره در زمان تحول می‌یابد. از آنجا که عمل اندازه‌گیری حالت مشاهده‌پذیر را تغییر داده است، بر رفتار آینده و هر اندازه‌گیری آتی سیستم تأثیر می‌گذارد. این امر خطا ایجاد می‌کند و مفهوم پس‌کنش از اینجا ناشی می‌شود.

پس‌کنش یک منبع عملی نوفه در آزمایش‌ها است.^[۱۷][۱۸] هر زمان که یک کاوشگر یا دستگاه اندازه‌گیری با یک سیستم از طریق فوتون‌ها، الکترون‌ها یا حامل‌های دیگر برهم‌کنش می‌کند، فرایند اندازه‌گیری یک اغتشاش تصادفی ایجاد می‌کند. در ابزارهای دقیق، این اغتشاش به عنوان یک منبع نوفه اضافی ظاهر می‌شود که حساسیت را محدود می‌کند و به آن نوفه پس‌کنش اندازه‌گیری می‌گویند.

چیدمان‌های آزمایشی که شامل اندازه‌گیری نوری هستند، هم توسط نوفه شات و هم توسط نوفه پس‌کنش محدود می‌شوند. در یک سیستم اپتومکانیکی مانند یک تداخل‌سنج لیزری، نوفه پس‌کنش اندازه‌گیری به دلیل افت‌وخیزهای فشار تابش نور به وجود می‌آید.^[۱۹] با افزایش توان نوری، نوفه شات کاهش می‌یابد، اما این کار به قیمت افزایش پس‌کنش، به شکل نوفه فشار تابش کوانتومی، تمام می‌شود و پس‌کنش فشار تابش فوتون‌هایی که به‌طور تصادفی می‌رسند، به نیروی غالب بر سیستم تبدیل خواهد شد.^[۱۸][۲۰]

وجود افت‌وخیزهای انرژی نقطه صفر در نظریه میدان الکترومغناطیسی کوانتیده به خوبی تثبیت شده است.^[۲۱] به‌طور کلی، در پایین‌ترین سطح برانگیختگی انرژی یک میدان کوانتیده که تمام فضا را فرا گرفته است (یعنی مُد میدان در حالت خلاء باشد)، افت‌وخیز ریشه میانگین مربع شدت میدان ناصفر است. این پدیده، افت‌وخیزهای خلاء را که در تمام فضا وجود دارند، توجیه می‌کند.

این افت‌وخیز خلاء یا نوفه کوانتومی بر سیستم‌های کلاسیک تأثیر می‌گذارد. این تأثیر به صورت واهمدوسی کوانتومی در یک سیستم درهم‌تنیده ظاهر می‌شود، که معمولاً به تفاوت‌های دمایی در شرایط اطراف هر ذره درهم‌تنیده نسبت داده می‌شود. از آنجا که درهم‌تنیدگی به‌طور گسترده در جفت‌های ساده فوتون‌های درهم‌تنیده مطالعه می‌شود، واهمدوسی مشاهده‌شده در آزمایش‌ها می‌تواند به عنوان منبع واهمدوسی، مترادف با «نوفه کوانتومی» باشد. افت‌وخیز خلاء یکی از دلایل ممکن برای ظهور خودبه‌خودی یک کوانتوم انرژی در یک میدان یا فضازمان معین است، بنابراین تفاوت‌های دمایی باید با این رویداد مرتبط باشند. از این رو، این پدیده می‌تواند باعث واهمدوسی در یک سیستم درهم‌تنیده در مجاورت آن رویداد شود.

مطالعه‌ای که در فیزیکال ریویو ریسرچ (۲۰۲۵) توسط دانشمندان دانشگاه سوانزی منتشر شد، روشی نوین برای سرکوب نوفه کوانتومی با استفاده از مرزهای بازتابنده را نشان داد. پژوهشگران با قرار دادن یک نانوذره در مرکز کانونی یک آینه نیم‌کره‌ای، دریافتند که تحت شرایط خاصی، ذره از تصویر آینه‌ای خود غیرقابل تشخیص می‌شود. این پیکربندی از استخراج اطلاعات موقعیتی از نور پراکنده‌شده جلوگیری کرد، که به نوبه خود پس‌کنش کوانتومی مرتبط با آن، یعنی اغتشاش ناشی از اندازه‌گیری با استفاده از فوتون‌ها، را حذف کرد.^[۲۳]

این اثر غیرمنتظره دقیقاً زمانی رخ داد که پراکندگی نور به حداکثر خود رسید، که نشان‌دهنده یک ارتباط بنیادی بین در دسترس بودن اطلاعات و نوفه کوانتومی است. این مطالعه راه‌های جدیدی را برای حسگرهای کوانتومی بسیار حساس، آزمایش‌های حالت کوانتومی ماکروسکوپی، و کاربردها در مأموریت‌های فیزیک کوانتومی فضایی مانند MAQRO (تشدیدگرهای کوانتومی ماکروسکوپی) گشود.^[۲۴]