حدس پوانکاره
| مسائل جایزه هزاره |
|---|
|
 یک فضای فشردهٔ دوبعدی بدون مرز، از نظر توپولوژیکی همریخت با یک کرهٔ دوبعدی است، اگر هر حلقهای بتواند بهطور پیوسته به یک نقطه جمع شود. حدس پوانکاره بیان میکند که همین امر برای فضاهای سهبعدی نیز برقرار است. | |
| گرایش | توپولوژی هندسی |
|---|---|
| حدس زننده | آنری پوانکاره |
| تاریخ حدس | ۱۹۰۴ |
| نخستین اثبات توسط | گریگوری پرلمان |
| نخستین اثبات در تاریخ | ۲۰۰۲ |
| ایجاب شده توسط | |
| تعمیمات | حدس تعمیمیافتهٔ پوانکاره |
در علم ریاضی و در شاخهٔ توپولوژی هندسی، حدس پوانکاره (UK: /ˈpwæ̃kæreɪ/,[۲] US: /ˌpwæ̃kɑːˈreɪ/,[۳][۴] فرانسوی: [pwɛ̃kaʁe]) یک قضیه دربارهٔ مشخصسازی ۳-کره است، که همان ۴-کرهای است که گوی یکه را در فضای چهاربعدی محصور میکند.
این قضیه نخستین بار توسط آنری پوانکاره در سال ۱۹۰۴ حدس زده شد و به فضاهایی میپردازد که بهصورت موضعی همانند فضای سهبعدی معمولی هستند، اما گسترهٔ محدودی دارند. پوانکاره فرض کرد اگر چنین فضایی ویژگی اضافی داشته باشد که هر حلقهای در آن بتواند بهطور پیوسته به یک نقطه جمع شود، آنگاه الزاماً یک کرهٔ سهبعدی است. تلاشها برای حل این حدس، پیشرفتهای بسیاری را در شاخهٔ توپولوژی هندسی در سدهٔ بیستم بهدنبال داشت.
برهان نهایی بر پایهٔ برنامهٔ ریچارد اس. همیلتون و با استفاده از شار ریچی برای حل مسئله ساخته شد. گریگوری پرلمان با توسعهٔ چندین روش و نتیجهٔ تازه در نظریهٔ شار ریچی توانست برنامهٔ همیلتون را اصلاح و تکمیل کند. او در مقالاتی که در سالهای ۲۰۰۲ و ۲۰۰۳ در آرکایو منتشر کرد، کار خود را برای اثبات حدس پوانکاره (و حدس هندسیسازیٔ قدرتمندتر ویلیام ثرستن) ارائه داد. در چند سال بعد، چندین ریاضیدان به بررسی مقالات او پرداختند و صورتبندیهای دقیقی از کارش ارائه کردند.
کارهای همیلتون و پرلمان روی این حدس، بهطور گسترده بهعنوان نقطهٔ عطفی در پژوهشهای ریاضی شناخته میشود. همیلتون در سال ۲۰۱۱ جایزه شاو و در سال ۲۰۰۹ جایزه لروی استیل را دریافت کرد. نشریهٔ ساینس در سال ۲۰۰۶ اثبات پرلمان از حدس پوانکاره را بهعنوان دستاورد علمی سال معرفی کرد.[۵] مؤسسه ریاضیات کلی، که حدس پوانکاره را در فهرست مشهور مسائل جایزه هزاره قرار داده بود، در سال ۲۰۱۰ جایزهٔ یک میلیون دلاری خود را برای حل این حدس به پرلمان پیشنهاد داد.[۶] او این جایزه را نپذیرفت و گفت سهم همیلتون در این کار برابر با سهم خودش بوده است.[۷][۸]
نمای کلی
حدس پوانکاره یک مسئلهٔ ریاضی در حوزهٔ توپولوژی هندسی بود. از منظر واژگان این حوزه، چنین بیان میشود:
حدس پوانکاره.
هر منیفلد توپولوژیکی سهبعدی که بسته، همبند و دارای گروه بنیادی ساده باشد، هومئومورفیسم با کرهٔ سهبعدی است.
اشکال آشنا، مانند سطح یک توپ (که در ریاضیات به آن کرهٔ دو بعدی گفته میشود) یا یک چنبره، دو بعدی هستند. سطح یک توپ دارای گروه بنیادی ساده است، به این معنا که هر حلقهای که روی سطح رسم شود میتواند بهطور پیوسته به یک نقطه تغییر شکل یابد. در مقابل، سطح یک چنبره دارای گروه بنیادی غیرساده است، زیرا حلقههایی روی سطح وجود دارند که نمیتوانند به این شکل تغییر شکل یابند. هر دو، منیفلد توپولوژیکی هستند که بستهاند (یعنی مرز ندارند و یک ناحیهٔ محدود از فضا را اشغال میکنند) و همبند هستند (یعنی از یک بخش واحد تشکیل شدهاند). گفته میشود دو منیفلد بسته هومئومورفیک هستند وقتی امکان تخصیص پیوستهٔ نقاط یکی به دیگری وجود داشته باشد. از آنجا که (غیر) ساده بودن گروه بنیادی تحت هومئومورفیسم تغییر نمیکند، نتیجه میگیریم که کرهٔ دو بعدی و چنبره هومئومورفیک نیستند.
معادل دو بعدی حدس پوانکاره بیان میکند که هر منیفلد توپولوژیکی دو بعدی که بسته و همبند باشد، اما هومئومورفیک با کرهٔ دو بعدی نباشد، باید دارای حلقهای باشد که نتوان آن را بهطور پیوسته به یک نقطه تغییر شکل داد. (این موضوع با مثال چنبره، همانطور که پیشتر ذکر شد، نشان داده میشود) این معادل با استفاده از طبقهبندی منیفلد توپولوژیکیهای دو بعدی بسته و همبند، که از دههٔ ۱۸۶۰ در اشکال مختلف درک شده بود، صحیح شناخته میشود. در ابعاد بالاتر، منیفلد توپولوژیکیهای بسته و همبند طبقهبندی سادهای ندارند، که حل آسان حدس پوانکاره را غیرممکن میسازد.
منابع
- ↑ Matveev, Sergei (2007). "1.3.4 Zeeman's Collapsing Conjecture". Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds. Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 9. Springer. pp. 46–58. ISBN 978-3-540-45899-9.
- ↑ "Poincaré, Jules-Henri". Lexico UK English Dictionary. Oxford University Press. Archived from the original on 2022-09-02.
- ↑ "Poincaré". The American Heritage Dictionary of the English Language (5th ed.). Boston: هاوتن مفلین هارکورت. 2014. Retrieved 9 August 2019.
- ↑ «Poincaré» در مریام-وبستر
- ↑ Mackenzie, Dana (2006-12-22). "The Poincaré Conjecture – Proved". Science. 314 (5807): 1848–1849. doi:10.1126/science.314.5807.1848. PMID 17185565. S2CID 121869167.
- ↑ "Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman" (Press release). Clay Mathematics Institute. March 18, 2010. Archived from the original (PDF) on March 22, 2010. Retrieved November 13, 2015.
The Clay Mathematics Institute (CMI) announces today that Dr. Grigoriy Perelman of St. Petersburg, Russia, is the recipient of the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture.
- ↑ "Последнее 'нет' доктора Перельмана" [آخرین «نه» دکتر پرلمان]. Interfax (به روسی). July 1, 2010. Retrieved 5 April 2016. Google Translated archived link at (archived 2014-04-20)
- ↑ Ritter, Malcolm (1 July 2010). "Russian mathematician rejects million prize". The Boston Globe.
- Poincaré, Henri, Papers on topology. Analysis situs and its five supplements. Translated and with an introduction by John Stillwell. History of Mathematics, 37. American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, London, 2010. xx+228 pp. ISBN 978-0-8218-5234-7
- Milnor, John, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of Math. (2) 64 (1956), 399–405.
- Smale, Stephen, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391–406.
- Freedman, Michael, The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 3, 357–453.
- Perelman, Grigori (2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159.
- Perelman, Grigori (2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109.
- Perelman, Grigori (2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245.
- Milnor, John (2004). "The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report".