سینوس (ریاضیات)

سینوس
ویژگی‌های اصلی
زوج و فرد	فرد
دامنه	(−∞, +∞) الف
دامنه مشترک	[−1, 1] الف
تناوب	2${\displaystyle \pi }$
مقادیر ویژه
عرض از مبدأ	0
ماکسیمم	(2k${\displaystyle \pi }$ + ${\displaystyle \pi }$/2, 1)ب
مینیمم	(2k${\displaystyle \pi }$ − ${\displaystyle \pi }$/2, −۱)
ویژگی‌های خاص
ریشه	k${\displaystyle \pi }$
نقطه بحرانی	k${\displaystyle \pi }$ + ${\displaystyle \pi }$/2
نقطه عطف	k${\displaystyle \pi }$
نقطه ثابت	۰
الف برای اعداد حقیقی. ب متغیر k یک عدد صحیح است.

سینوس (به فرانسوی: Sinus) نوعی تابع مثلثاتی برای یک زاویه است. سینوس در ریاضی نسبت بین ارتفاع یک نقطه روی دایره یا مثلث قائم‌الزاویه به طول وتر است. به‌ عبارت ساده‌تر، اگر مثلثی قائم‌الزاویه داشته باشیم، سینوسِ یک زاویه یعنی «بلندیِ روبه‌روی آن زاویه تقسیم بر بلندای وتر».

ریشۀ اصلی این مفهوم به ریاضی‌دانان هند باستان بازمی‌گردد. ریاضی‌دانان هندی برای این نسبت از واژۀ سانسکریت «جیوا» (jīvā) به معنی «زِه کمان» (وتر کمان) بهره می‌بردند.^[۱] سانسکریت و فارسی هر دو از زبان‌های هندوایرانی هستند و واژه جیوا و زه فارسی هر دو هم‌ریشه هستند. اگر به نیم‌دایره‌ای نگاه کنید، زِه (وترِ) یک کمان، خط راستی است که دو سر کمان را به هم می‌پیوندد. نصف این زه، همان چیزی است که ما امروز به عنوان سینوس می‌شناسیم. دانشمندان ایرانی و عرب که این دانش را از هندیان وام گرفتند، واژۀ «جیوا» را به صورت «جیبَ» (jiba) به خط عربی آوانویسی کردند. در خط عربی آن زمان، مصوت‌ها نوشته نمی‌شد و این واژه به شکل «جب» (jb) ثبت می‌شد.^[۲]

در سده‌های میانه، هنگامی که مترجمان اروپایی در اسپانیا آثار ریاضی‌دانان مسلمان را به لاتین برمی‌گرداندند، دچار یک اشتباه در خوانش شدند. آنان واژۀ بی‌نقطۀ «جَیب» (jiba) را با واژۀ عربی دیگری به نام «جَیب» (jaib) که به معنی «گریبان»، «بغل» یا «خلیج کوچک» است، اشتباه گرفتند. از این رو، آن را به برابر لاتین آن، یعنی Sinus (به معنی خَم، گودی یا خلیج) ترجمه کردند.^[۳]

بنابراین، واژۀ «سینوس» که امروزه در سراسر جهان به کار می‌رود، نتیجۀ یک برگردان نادرست تاریخی است و هیچ پیوندی با معنای اصلی آن یعنی «زه کمان» ندارد.

در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه تند به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیبَ» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث قائم‌الزاویه روبرو داریم:
${\displaystyle \sin A={\frac {BC}{AC}}}$ و ${\displaystyle \sin C={\frac {AB}{AC}}}$

اگر در دایره مثلثاتی از زاویهٔ صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثلثاتی (خلاف حرکت عقربه ساعت) بگردیم، تغییرات سینوس بدین صورت خواهد بود:

${\displaystyle \theta }$ اندازه کمان	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \sin \theta }$	0	${\displaystyle \nearrow }$	1	${\displaystyle \searrow }$	0	${\displaystyle \searrow }$	-1	${\displaystyle \nearrow }$	0

تابع سینوس تابعی است که زاویه را به عنوان متغیر می‌پذیرد و سینوس زاویه را برمی‌گرداند. دامنه این تابع اعداد حقیقی بوده و برد آن بازهٔ ${\displaystyle [-1,1]}$ است. شکل تابع ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن ${\displaystyle 2\pi }$ است.

• قانون سینوس‌ها
• موج سینوسی
• شکل موج غیرسینوسی

• جلیل‌الله قراگزلو. مثلثات پایه. تهران:موسسه فرهنگی فاطمی، ۱۳۸۰. شابک ‎۹۶۴-۳۱۸-۰۵۴-۹