ماتریس سیستم رزنبراک

ماتریس سیستم رزنبراک (به انگلیسی: Rosenbrock system matrix) در ریاضیات کاربردی، برای یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI)، نمایشی مفید است که بین نمایش فضای حالت و فرم ماتریس تابع تبدیل ارتباط برقرار می‌کند. این ماتریس در سال ۱۹۶۷ توسط هوارد اچ. رزنبراک پیشنهاد شد.^[۱]

سیستم دینامیکی زیر را در نظر بگیرید:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du.}$

ماتریس سیستم رزنبراک به صورت زیر داده می‌شود:

${\displaystyle P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

در کار اصلی رزنبراک، ماتریس ثابت ${\displaystyle D}$ می‌تواند یک چندجمله‌ای بر حسب ${\displaystyle s}$ باشد.

تابع تبدیل بین ورودی ${\displaystyle i}$ و خروجی ${\displaystyle j}$ از طریق رابطه زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}}$

که در آن ${\displaystyle b_{i}}$ ستون ${\displaystyle i}$-ام ماتریس ${\displaystyle B}$ و ${\displaystyle c_{j}}$ سطر ${\displaystyle j}$-ام ماتریس ${\displaystyle C}$ است.

رزنبراک بر اساس این نمایش، نسخه خود از آزمون PBH را توسعه داد.

برای اهداف محاسباتی، یک فرم کوتاه از ماتریس سیستم رزنبراک مناسب‌تر است^[۲] و به صورت زیر داده می‌شود:

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

فرم کوتاه ماتریس سیستم رزنبراک به طور گسترده در روش‌های کنترل اچ-اینفینیتی استفاده شده است، جایی که به آن فرم بسته‌بندی‌شده (packed form) نیز گفته می‌شود؛ برای مثال به دستور pck در متلب مراجعه کنید.^[۳] تفسیری از ماتریس سیستم رزنبراک به عنوان یک تبدیل کسری خطی را می‌توان در این منبع یافت.^[۴]

یکی از اولین کاربردهای فرم رزنبراک، توسعه یک روش محاسباتی کارآمد برای تجزیه کالمن بود که بر اساس روش عنصر محوری (pivot element method) کار می‌کند. گونه‌ای از روش رزنبراک در دستور minreal در متلب^[۵] و گنو اکتاو پیاده‌سازی شده است.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Rosenbrock system matrix». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۷ سپتامبر ۲۰۲۴.