نمایش فضای حالت

ویژگی‌های پایداری و پاسخ طبیعی یک سیستم اِل‌تی‌آی زمان پیوسته (یعنی خطی با ماتریس‌هایی که نسبت به زمان ثابت هستند) را می‌توان از مقادیر ویژه ماتریس مطالعه کرد. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ پایداری یک مدل فضای‌حالت تغییرناپذیر با زمان (ناوَردا با زمان) را می‌توان با نگاه کردن به تابع تبدیل سیستم به صورت فاکتورگیری شده تعیین کرد. سپس چیزی شبیه به این خواهد بود:

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}.}$$

مخرج تابع تبدیل برابر با چندجمله‌ای مشخصه است که با گرفتن دترمینان از ${\displaystyle s\mathbf {I} -\mathbf {A} }$ به دست می‌آید ، $${\displaystyle \lambda (s)=\left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|.}$$ ریشه‌های این چندجمله‌ای (مقادیر ویژه) قطب‌های تابع تبدیل سیستم هستند (یعنی نقاط تکین که در آن‌ها اندازه تابع تبدیل نامحدود است). از این قطب‌ها می‌توان برای تحلیل پایداری مجانبی یا پایداری حاشیه‌ای سیستم استفاده کرد. یک رویکرد جایگزین برای تعیین پایداری، که شامل محاسبه مقادیر ویژه نمی‌شود، تحلیل پایداری لیاپانوف سیستم است.

صفرهای موجود در صورت کسر ${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$ به‌طور مشابه می‌توان از آن برای تعیین اینکه آیا سیستم کمینه فاز است یا خیر، استفاده کرد.

این سیستم ممکن است همچنان ورودی-خروجی پایدار باشد (به پایداری بای‌بو مراجعه کنید) حتی اگر از نظر داخلی پایدار نباشد. این امر در صورتی ممکن است که قطب‌های ناپایدار توسط صفرها حذف شوند (یعنی اگر آن نقاط تکین در تابع تبدیل برداشتنی باشند).

شرط کنترل‌پذیری حالت دلالت بر این دارد که ممکن است – توسط ورودی‌های قابل قبول - برای هدایت حالت‌ها از هر مقدار اولیه به هر مقدار نهایی در یک پنجره زمانی محدود. یک مدل فضای‌حالت خطی نامتغیر با زمان پیوسته، کنترل‌پذیر است اگر و فقط اگر $${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}=n,}$$ که در آن رتبه تعداد سطرهای مستقل خطی در یک ماتریس و n تعداد متغیرهای حالت است.

مشاهده‌پذیری معیاری است برای اینکه چقدر می‌توان حالت‌های داخلی یک سیستم را با آگاهی از خروجی‌های خارجی آن استنباط کرد. مشاهده‌پذیری و کنترل‌پذیری یک سیستم دوگان‌های ریاضی هستند (یعنی، همان‌طور که کنترل‌پذیری تضمین می‌کند که ورودی‌ای در دسترس باشد که هر حالت اولیه را به هر حالت نهایی مطلوب برساند، مشاهده‌پذیری نیز تضمین می‌کند که دانستن مسیر خروجی، اطلاعات کافی برای پیش‌بینی حالت اولیه سیستم را فراهم می‌کند).

یک مدل فضای‌حالت خطی نامتغیر زمان پیوسته، مشاهده‌پذیر است اگر و تنها اگر $${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\vdots \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\end{bmatrix}}=n.}$$

«تابع تبدیل» یک مدل فضای‌حالت خطی نامتغیر با زمان پیوسته را می‌توان به روش زیر بدست آورد:

ابتدا، با در نظر گرفتن تبدیل لاپلاس از $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$

نتیجه می‌دهد $${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$ در مرحله بعد، برای ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ ، می‌دهد $${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$$ و بدین ترتیب $${\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$

جایگزینی برای ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ در معادله خروجی

$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$$ می‌دهد $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} ((s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s))+\mathbf {D} \mathbf {U} (s).}$$

با فرض شرایط اولیه صفر ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {0} }$ و یک سیستم تک‌ورودی تک‌خروجی (SISO)، تابع تبدیل به صورت نسبت خروجی به ورودی تعریف می‌شود. ${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$ با این حال، برای یک سیستم چندورودی چندخروجی (MIMO)، این نسبت تعریف نشده است؛ بنابراین، با فرض شرایط اولیه صفر، ماتریس تابع تبدیل از رابطه زیر بدست می‌آید: $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$$

با استفاده از روش برابر قرار دادن ضرایب که نتیجه می‌دهد

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .}$$

در نتیجه، ${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$ ماتریسی با بعد ${\displaystyle q\times p}$ است که شامل توابع تبدیل برای هر ترکیب ورودی-خروجی است. به دلیل سادگی این نمادگذاری ماتریسی، نمایش فضای‌حالت معمولاً برای سیستم‌های چندورودی-چندخروجی استفاده می‌شود. ماتریس سیستم روزنبروک پُلی بین نمایش فضای‌حالت و تابع تبدیل آن فراهم می‌کند.

هر تابع تبدیل داده شده که اکیدا سِرِه باشد، می‌تواند به راحتی با رویکرد زیر به فضای‌حالت منتقل شود (این مثال برای یک سیستم چهار-بُعدی، تک‌ورودی، تک‌خروجی است):

با داشتن یک تابع تبدیل، آن را بسط دهید تا تمام ضرایب هم در صورت و هم در مخرج نشان داده شوند. این باید به فرم زیر منجر شود: $${\displaystyle \mathbf {G} (s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}.}$$

اکنون می‌توان ضرایب را مستقیماً با روش زیر در مدل فضای‌حالت وارد کرد: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-d_{4}&-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{2}&n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

این تحقق فضای‌حالت، فرم متعارف کنترل‌پذیر (به انگلیسی: controllable canonical form) نامیده می‌شود زیرا تضمین می‌شود که مدل حاصل، کنترل‌پذیر باشد (یعنی، چون کنترل وارد زنجیره‌ای از انتگرال‌گیرها می‌شود، قابلیت جابجایی هر حالت را دارد).

ضرایب تابع تبدیل همچنین می‌توانند برای ساخت نوع دیگری از فرم متعارف استفاده شوند. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&-d_{4}\\1&0&0&-d_{3}\\0&1&0&-d_{2}\\0&0&1&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}n_{4}\\n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

این تحقق فضای‌حالت، فرم متعارف مشاهده‌پذیر (به انگلیسی: observable canonical form) نامیده می‌شود زیرا مدل حاصل تضمین می‌کند که مشاهده‌پذیر باشد (یعنی، از آنجا که خروجی از زنجیره‌ای از انتگرال‌گیرها خارج می‌شود، هر حالت بر خروجی تأثیر می‌گذارد).

توابع تبدیلی که فقط سره (و نه کاملاً سره) هستند نیز می‌توانند به راحتی تحقق یابند. نکته در اینجا این است که تابع تبدیل را به دو بخش تقسیم کنیم: یک بخش کاملاً سره و یک ثابت. $${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {G} _{\mathrm {SP} }(s)+\mathbf {G} (\infty ).}$$

سپس می‌توان تابع تبدیل اکیداً سره را با استفاده از فنون‌های نشان داده شده در بالا به یک تحقق فضای‌حالت متعارف تبدیل کرد. تحقق فضای‌حالت ثابت به‌طور بدیهی ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {G} (\infty )\mathbf {u} (t)}$ سپس با هم، یک تحقق فضای‌حالت با ماتریس‌های A , B و C که توسط بخش اکیداً سره و ماتریس D که توسط ثابت تعیین می‌شوند، به دست می‌آوریم.

برای روشن شدن موضوع کمی مثالی می‌زنیم: $${\displaystyle \mathbf {G} (s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$$ که منجر به تحقق کنترل‌پذیری زیر می‌شود $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$ توجه کنید که خروجی نیز مستقیماً به ورودی بستگی دارد. این به دلیل ${\displaystyle \mathbf {G} (\infty )}$ ثابت در تابع تبدیل است.

یک روش رایج برای بازخورد، ضرب خروجی در ماتریس K و تنظیم آن به عنوان ورودی سیستم است: ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}$ از آنجایی که مقادیر K نامقیّد هستند، می‌توان به راحتی مقادیر آن را برای بازخورد منفی، منفی کرد. وجود علامت منفی (نمادگذاری رایج) صرفاً یک علامت نمادین است و عدم وجود آن هیچ تأثیری بر نتایج نهایی ندارد.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

می‌شود

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}$$

حل معادله خروجی برای ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ و با جایگزینی در معادله حالت، نتیجه می‌شود

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}$$

مزیت این روش این است که می‌توان مقادیر ویژه A را با تنظیم مناسب K از طریق تجزیه ویژه ${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}$ کنترل کرد. این فرض می‌کند که سیستم حلقه بسته کنترل‌پذیر است یا اینکه مقادیر ویژه ناپایدار A را می‌توان از طریق انتخاب مناسب K پایدار کرد.

علاوه بر بازخورد، یک ورودی، ${\displaystyle r(t)}$ ، می‌تواند به گونه‌ای اضافه شود که ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)}$ .

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

می‌شود

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}$$

حل معادله خروجی برای ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ و با جایگزینی در معادله حالت، نتیجه می‌شود

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)}$$

یک ساده‌سازی نسبتاً رایج برای این دستگاه، حذف D است که معادلات را به صورت زیر کاهش می‌دهد:

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$$

یک سیستم خطی کلاسیک، سیستم حرکت یک-بُعدی یک جسم (مثلاً یک گاری) است. قوانین حرکت نیوتن برای جسمی که به صورت افقی روی یک صفحه حرکت می‌کند و با فنر به دیوار متصل است:

$${\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-b{\dot {y}}(t)-ky(t)}$$

• ${\displaystyle y(t)}$ موقعیت است؛ ${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$ سرعت است؛ ${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$ شتاب است
• ${\displaystyle u(t)}$ نیروی اعمال‌شده است
• ${\displaystyle b}$ ضریب اصطکاک چسبناکی است
• ${\displaystyle k}$ ثابت فنر است
• ${\displaystyle m}$ جرم این جسم است

سپس معادله حالت به صورت زیر خواهد شد:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t)\\{\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}(t)\\\mathbf {x} _{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]}$$

که در اینجا

• ${\displaystyle x_{1}(t)}$ نشان دهنده موقعیت جسم است
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$ سرعت جسم است
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {x}}_{1}(t)}$ شتاب جسم است
• خروجی ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ موقعیت جسم است

سپس آزمون کنترل‌پذیری به صورت زیر است:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&-{\frac {b}{m^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

که برای همه ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle m}$ رتبه کامل (full rank) دارد این بدان معناست که اگر حالت اولیه سیستم (${\displaystyle y(t)}$ ، ${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$ ، ${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$) مشخص باشد و اگر ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle m}$ ثابت باشند، پس نیرویی ${\displaystyle u}$ وجود دارد که می‌توانست گاری را به هر موقعیت دیگری در سیستم منتقل کند.

آزمون مشاهده‌پذیری به صورت زیر است:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

که رتبه کامل را نیز داراست؛ بنابراین، این سیستم هم کنترل‌پذیر و هم مشاهده‌پذیر است.

یک سیستم غیرخطی کلاسیک، یک آونگ ساده بدون نیرو است.

$${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {\dot {\theta }}(t)}$$

کج اینجاا

• ${\displaystyle \theta (t)}$ زاویه آونگ نسبت به جهت گرانش است
• ${\displaystyle m}$ جرم آونگ است (جرم میله آونگ صفر فرض شده است)
• ${\displaystyle g}$ شتاب گرانشی است
• ${\displaystyle k}$ ضریب اصطکاک در نقطه محوری است
• ${\displaystyle \ell }$ شعاع آونگ (نسبت به مرکز ثقل جرم ${\displaystyle m}$) است.

معادلات حالت به صورت زیر هستند:

$${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(t)=x_{2}(t)}$$ $${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)}$$

کج اینجاا

• ${\displaystyle x_{1}(t)=\theta (t)}$ زاویه آونگ است
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$ سرعت چرخش آونگ است
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}}$ شتاب چرخشی آونگ است

در عوض، معادله حالت را می‌توان به فرم کلی نوشت

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}=\mathbf {f} (t,x(t))={\begin{bmatrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)\end{bmatrix}}.}$$

نقاط تعادل/مانای یک سیستم زمانی هستند که ${\displaystyle {\dot {x}}=0}$ و بنابراین نقاط تعادل یک آونگ، نقاطی هستند که در شرایط زیر صدق می‌کنند:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n\pi \\0\end{bmatrix}}}$$

برای اعداد صحیح n.