هسته (جبر)

یک هم‌ریختی گروهی h از گروه G به گروه H ترسیم‌شده است، که گروه‌ها به ترتیب با یک بیضی آبی در سمت چپ و یک دایره زرد در سمت راست نمایش داده شده‌اند. هسته h دایره قرمز در سمت چپ است، زیرا h آن را به عنصر همانی ۱ در H می‌فرستد.

نمونه‌ای برای یک هسته - عملگر خطی $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ تمام نقاط روی خط $(x=0,y)$ را به نقطه صفر $(0,0)$ تبدیل می‌کند، بنابراین آن‌ها هسته این عملگر خطی را تشکیل می‌دهند.

در جبر، هسته یک همریختی، رابطه‌ای است که توصیف می‌کند چگونه عناصر در دامنه همریختی در تصویر با یکدیگر مرتبط می‌شوند. همریختی یک تابع است که ساختار جبری زیربنایی در دامنه را به تصویر آن حفظ می‌کند.

هنگامی که ساختارهای جبری درگیر دارای یک ساختار گروه زیربنایی باشند، هسته به عنوان پیش‌تصویر عنصر همانی گروه در تصویر در نظر گرفته می‌شود؛ یعنی شامل عناصری از دامنه است که به عنصر همانی تصویر نگاشته می‌شوند. برای نمونه، نگاشتی که هر عدد صحیح را به زوج یا فرد بودن آن می‌فرستد (یعنی اگر عدد زوج باشد ۰، و اگر فرد باشد ۱)، یک همریختی به اعداد صحیح به پیمانه ۲ خواهد بود و هسته مربوط به آن، اعداد صحیح زوج هستند که همگی دارای ۰ به عنوان زوجیت خود هستند. هسته یک همریختی از ساختارهای گروه-مانند، یک مجموعه تک‌عضوی خواهد بود که تنها در صورتی شامل عنصر همانی است که همریختی یک‌به‌یک باشد، یعنی پیش‌تصویر هر عنصر شامل یک تک‌عضو باشد. این بدان معناست که هسته را می‌توان به عنوان معیاری برای درجه‌ای که همریختی در آن از یک‌به‌یک بودن باز می‌ماند، در نظر گرفت.

برای برخی از انواع ساختارها، مانند گروه‌های آبلی و فضاهای برداری، هسته‌های ممکن دقیقاً همان زیرساختارهای از همان نوع هستند. این موضوع همیشه صادق نیست و برخی هسته‌ها نام‌های ویژه‌ای دریافت کرده‌اند، مانند زیرگروه‌های نرمال برای گروه‌ها و ایده‌آل‌های دوطرفه برای حلقه‌ها. مفهوم هسته به ساختارهایی تعمیم یافته است که در آن‌ها پیش‌تصویر یک عنصر واحد برای تعیین اینکه آیا یک همریختی یک‌به‌یک است یا خیر، کافی نیست. در این موارد، هسته یک رابطه هم‌نهشتی است.

هسته‌ها امکان تعریف شیء خارج‌قسمتی (که در جبر جهانی به آن جبر خارج‌قسمتی نیز می‌گویند) را فراهم می‌کنند. برای بسیاری از انواع ساختارهای جبری، قضیه اساسی همریختی (یا قضیه اول یکریختی) بیان می‌کند که تصویر یک همریختی با خارج‌قسمتِ هسته، یکریخت است.

تعریف

هم‌ریختی‌های گروهی

یک گروه، یک مجموعه $G$ به همراه یک عمل دوتایی $\cdot$ است که سه ویژگی زیر را برای تمام $a,b,c\in G$ ارضا می‌کند:

1. شرکت‌پذیری: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
2. همانی: عنصری مانند $e\in G$ وجود دارد به‌طوری که $e\cdot a=a\cdot e=a$
3. وارون‌ها: برای هر $a\in G$، عنصری مانند $a'\in G$ وجود دارد به‌طوری که $a\cdot a'=a'\cdot a=e$

یک گروه را در صورتی که خاصیت $a\cdot b=b\cdot a$ را نیز ارضا کند، آبلی می‌نامند.

فرض کنید $G$ و $H$ دو گروه باشند. یک هم‌ریختی گروهی از $G$ به $H$، تابعی مانند $f:G\to H$ است به‌طوری که برای تمام $a,b\in G$ داشته باشیم $f(ab)=f(a)f(b)$. (برای سادگی، نماد عمل $\cdot$ حذف‌شده است. ) با فرض اینکه $e_{H}$ عنصر همانی $H$ باشد، «هسته» $f$ برابر است با تصویر معکوس مجموعه تک‌عضوی $\{e_{H}\}$؛ یعنی زیرمجموعه‌ای از $G$ که شامل تمام عناصری از $G$ است که توسط $f$ به عنصر $e_{H}$ نگاشته می‌شوند.

هسته معمولاً با $\ker {f}$ (یا تغییراتی از آن) نمایش داده می‌شود. به زبان نمادین:

$\ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.$

از آنجا که یک هم‌ریختی گروهی، عناصر همانی را حفظ می‌کند، عنصر همانی $e_{G}$ در $G$ باید متعلق به هسته باشد. هم‌ریختی $f$ یک‌به‌یک است اگر و تنها اگر هسته آن تنها شامل مجموعه تک‌عضوی $\{e_{G}\}$ باشد.

$\ker {f}$ یک زیرگروه از $G$ و علاوه بر آن یک زیرگروه نرمال است. بنابراین، یک گروه خارج‌قسمتی متناظر $G/\ker {f}$ وجود دارد. این گروه طبق قضیه اول یکریختی برای گروه‌ها، با $f(G)$، یعنی تصویر $G$ تحت $f$ (که خود زیرگروهی از $H$ است)، یکریخت می‌باشد.

هم‌ریختی‌های حلقه‌ای

یک حلقه با همانی (یا یکه)، مجموعه‌ای مانند $R$ به همراه دو عمل دوتایی $+$ و $\cdot$ است که ویژگی‌های زیر را ارضا می‌کند:

1. $R$ به همراه $+$ یک گروه آبلی با عنصر همانی $0$ است.
2. عمل ضرب $\cdot$ شرکت‌پذیر است.
3. توزیع‌پذیری: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ و $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ برای تمام $a,b,c\in R$
4. عمل ضرب $\cdot$ دارای یک عنصر همانی $1$ است.

یک حلقه در صورتی جابه‌جایی است که عمل ضرب آن جابه‌جایی باشد، و چنین حلقه‌ای در صورتی که هر $0\neq a\in R$ دارای یک وارون ضربی باشد (یعنی عنصری مانند $b\in R$ وجود داشته باشد که $ab=1$)، یک میدان نامیده می‌شود. فرض کنید $R$ و $S$ دو حلقه باشند. یک هم‌ریختی حلقه‌ای از $R$ به $S$، تابعی مانند $f:R\to S$ است که برای تمام $a,b\in R$ ویژگی‌های زیر را ارضا کند:

1. $f(a+b)=f(a)+f(b)$
2. $f(ab)=f(a)f(b)$

«هسته» $f$ همان هسته به عنوان گروه‌های جمعی است. این هسته، تصویر معکوس ایده‌آل صفر $\{0_{S}\}$ است، یعنی زیرمجموعه‌ای از $R$ که شامل تمام عناصری از $R$ است که توسط $f$ به عنصر $0_{S}$ نگاشته می‌شوند. هسته معمولاً با $\ker {f}$ (یا تغییراتی از آن) نمایش داده می‌شود. به زبان نمادین:

$\operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.$

از آنجا که یک هم‌ریختی حلقه‌ای، عناصر صفر را حفظ می‌کند، عنصر صفر $0_{R}$ در $R$ باید متعلق به هسته باشد. هم‌ریختی $f$ یک‌به‌یک است اگر و تنها اگر هسته آن تنها شامل مجموعه تک‌عضوی $\{0_{R}\}$ باشد. این امر همواره در صورتی برقرار است که $R$ یک میدان باشد و $S$ حلقه صفر نباشد.

از آنجا که $\ker {f}$ تنها زمانی شامل همانی ضربی است که $S$ حلقه صفر باشد، مشخص می‌شود که هسته به‌طور کلی یک زیرحلقه از $R$ نیست. هسته یک زیر-رونگ (rng) و به‌طور دقیق‌تر، یک ایده‌آل دوطرفه از $R$ است. بنابراین، صحبت از حلقه خارج‌قسمتی $R/\ker {f}$ معنادار است. قضیه اول یکریختی برای حلقه‌ها بیان می‌کند که این حلقه خارج‌قسمتی به‌طور طبیعی با تصویر $f$ (که زیرحلقه‌ای از $S$ است) یکریخت می‌باشد.

نگاشت‌های خطی

هسته و تصویر یک نگاشت خطی L از V به W

مقالهٔ اصلی: هسته (جبر خطی)

با فرض یک میدان $F$، یک فضای برداری (روی $F$)، یک گروه آبلی $V$ (با عمل دوتایی $+$ و همانی $0$) به همراه ضرب نرده‌ای از $F$ است که برای تمام $a,b\in F$ و $\alpha ,\beta \in V$ ویژگی‌های زیر را ارضا می‌کند:

1. $a(b\alpha )=(ab)\alpha$
2. $(a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha$
3. $a(\alpha +\beta )=a\alpha +a\beta$
4. $1\alpha =\alpha$

فرض کنید $V$ و $W$ دو فضای برداری روی میدان $F$ باشند. یک نگاشت خطی (یا تبدیل خطی) از $V$ به $W$، تابعی مانند $T:V\to W$ است که برای تمام $\alpha ,\beta \in V$ و $a\in F$ ویژگی‌های زیر را ارضا کند:

1. $T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta )$
2. $T(a\alpha )=aT(\alpha )$

اگر $0_{W}$ بردار صفر $W$ باشد، آنگاه هسته $T$ (یا فضای پوچ) برابر است با تصویر معکوس زیرفضای صفر $\{0_{W}\}$؛ یعنی زیرمجموعه‌ای از $V$ که شامل تمام عناصری از $V$ است که توسط $T$ به عنصر $0_{W}$ نگاشته می‌شوند. هسته با $\ker {T}$ یا تغییراتی از آن نمایش داده می‌شود و به صورت نمادین چنین تعریف می‌شود:

$\ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.$

از آنجا که یک نگاشت خطی، بردارهای صفر را حفظ می‌کند، بردار صفر $0_{V}$ در $V$ باید متعلق به هسته باشد. تبدیل $T$ یک‌به‌یک است اگر و تنها اگر هسته آن به زیرفضای صفر تقلیل یابد.

هسته $\ker {T}$ همواره یک زیرفضای خطی از $V$ است. بنابراین، صحبت از فضای خارج‌قسمتی $V/\ker {T}$ معنادار است. قضیه اول یکریختی برای فضاهای برداری بیان می‌کند که این فضای خارج‌قسمتی با تصویر $T$ (که زیرفضایی از $W$ است) به‌طور طبیعی یکریخت است. در نتیجه، بعد $V$ برابر است با مجموع بعد هسته و بعد تصویر.

هم‌ریختی‌های مدولی

فرض کنید $R$ یک حلقه باشد. یک مدول روی $R$ دقیقاً مانند فضای برداری روی یک میدان تعریف می‌شود، با استفاده از همان اصول موضوعه، با این تفاوت که میدان با یک حلقه جایگزین شده است. در واقع، یک مدول روی یک میدان، دقیقاً همان فضای برداری روی یک میدان است. فرض کنید $M$ و $N$ دو $R$-مدول باشند. یک هم‌ریختی مدولی از $M$ به $N$ نیز تابعی مانند $\varphi :M\to N$ است که ویژگی‌های مشابه نگاشت خطی را ارضا کند. هسته $\varphi$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\ker \varphi =\{m\in M\ |\ \varphi (m)=0\}$

هر هسته یک زیرمدول از مدول دامنه است، که بدین معناست که آن‌ها همواره شامل ۰، یعنی همانی جمعی مدول، هستند. هسته‌های گروه‌های آبلی را می‌توان نوع خاصی از هسته مدولی در نظر گرفت، هنگامی که حلقه زیرین، حلقه اعداد صحیح باشد.

مثال‌ها

هم‌ریختی‌های گروهی

فرض کنید $G$ یک گروه دوری با ۶ عضو $\{0,1,2,3,4,5\}$ تحت هم‌نهشتی (نظریه اعداد) (جمع پیمانه‌ای) باشد، $H$ یک گروه دوری با ۲ عضو $\{0,1\}$ تحت جمع پیمانه‌ای باشد، و $f$ هم‌ریختی‌ای باشد که هر عضو $g\in G$ را به عضو $g$ به پیمانه ۲ در $H$ نگاشت می‌دهد. در این صورت $\ker f=\{0,2,4\}$، زیرا تمام این اعضا به $0\in H$ نگاشت می‌شوند. گروه خارج‌قسمتی $G/\ker {f}$ دارای دو عضو است: $\{0,2,4\}$ و $\{1,3,5\}$، و با $H$ یکریخت است.

با داشتن یک یکریختی به صورت $\varphi :G\to H$، داریم $\ker \varphi =1$. از سوی دیگر، اگر این نگاشت صرفاً یک هم‌ریختی باشد که در آن H گروه بدیهی است، آنگاه $\varphi (g)=1$ برای تمام $g\in G$ برقرار است، بنابراین $\ker \varphi =G$.

فرض کنید ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } نگاشتی باشد که به صورت $\varphi ((x,y))=x$ تعریف شده است. این یک هم‌ریختی است که هسته آن دقیقاً شامل نقاطی به فرم $(0,y)$ است. این نگاشت «تصویر روی محور x» در نظر گرفته می‌شود. پدیده مشابهی در نگاشت $f:(\mathbb {R} ^{\times })^{2}\to \mathbb {R} ^{\times }$ که به صورت $f(a,b)=b$ تعریف می‌شود رخ می‌دهد، که در آن هسته شامل نقاطی به فرم $(a,1)$ است.

برای یک مثال ناجابه‌جایی، فرض کنید $Q_{8}$ نشان‌دهنده گروه کواترنیون و $V_{4}$ نشان‌دهنده گروه چهارتایی کلاین باشد. نگاشتی مانند $\varphi :Q_{8}\to V_{4}$ را به صورت زیر تعریف کنید:

$\varphi (\pm 1)=1$

$\varphi (\pm i)=a$

$\varphi (\pm j)=b$

$\varphi (\pm k)=c$

در این صورت این نگاشت یک هم‌ریختی است که در آن $\ker \varphi =\{\pm 1\}$.

فرض کنید $S^{1}$ نشان‌دهنده گروه دایره باشد که از تمام عدد مختلط با قدر مطلق (ریاضی) (یا قدر مطلق (ریاضی)) برابر با $1$ تشکیل شده است و عمل گروهی آن ضرب است. در این صورت تابع $f:\mathbb {R} \to S^{1}$ که $x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)$ را می‌فرستد، یک هم‌ریختی است که اعداد صحیح هسته آن هستند. قضیه اول یکریختی در این حالت نشان می‌دهد که $\mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}$.

گروه متقارن روی $n$ عنصر، یعنی $S_{n}$، دارای یک هم‌ریختی پوشا به نام $\epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}$ است که هر جایگشت را به زوج یا فرد بودن تعداد ترانهش‌هایی که حاصل‌ضرب آن‌ها آن جایگشت است، نگاشت می‌دهد. گروه متناوب $A_{n}=\ker \epsilon$ هسته این هم‌ریختی است که از جایگشت‌های زوج تشکیل‌شده است. گروه متناوب برای $n\geq 5$ یک گروه ساده ناجابه‌جایی است.

دترمینان برای ماتریس وارون‌پذیر $n\times n$ از عدد حقیقی $\mathbb {R}$، که مجموعه آن‌ها با $GL(n,\mathbb {R} )$ نمایش داده‌شده و گروه خطی عام نامیده می‌شود، یک هم‌ریختی به گروه ضربی $\mathbb {R} ^{\times }$ (شامل تمام اعداد حقیقی غیرصفر) است و هسته دترمینان، گروه خطی خاص $SL(n,\mathbb {R} )$ نامیده می‌شود. این‌ها ماتریس‌هایی هستند که دترمینان آن‌ها دقیقاً $1$ است.

با داشتن یک گروه $G$ و یک عضو، نگاشت $x\mapsto gxg^{-1}$ یک خودریختی است؛ یک یکریختی که دامنه و تصویر آن یک گروه واحد هستند. این یک هم‌ریختی از $G$ به گروه خودریختی‌هایش یعنی ${\text{Aut}}(G)$ می‌دهد که هر $g$ را به خودریختی داخلی مربوط به خود نگاشت می‌دهد و هسته این هم‌ریختی، مرکز (نظریه گروه‌ها) $Z(G)$ از $G$ است که شامل $g\in G$هایی است که برای هر $x\in G$ داریم $gxg^{-1}=x$، یا به طور معادل $gx=xg$. به طور کلی‌تر، برای هر زیرگروه نرمال $H$ از $G$ (یعنی گروه‌های بسته تحت مزدوج‌گیری)، این نگاشت مزدوج‌گیری نیز یک خودریختی روی $H$ است که هم‌ریختی دیگری از $G$ به ${\text{Aut}}(H)$ می‌دهد که هسته آن مرکزساز و نرمال‌ساز $C_{G}(H)$ از $H$ در $G$ است و مجموعه‌ای از $g\in G$هایی است که برای هر $h\in H$ داریم $ghg^{-1}=h$.

هم‌ریختی‌های حلقه‌ای

نگاشت ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } را در نظر بگیرید که در آن حلقه دوم، اعداد صحیح به پیمانه ۲ است و نگاشت هر عدد را به اعداد زوج و فرد آن می‌فرستد؛ ۰ برای اعداد زوج و ۱ برای اعداد فرد. این نگاشت یک هم‌ریختی است و از آنجا که همانی جمعی در حلقه دوم ۰ است، هسته دقیقاً اعداد زوج هستند.

فرض کنید ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} } به صورت $\varphi (p(x))=p(0)$ تعریف شود. این نگاشت که یک هم‌ریختی است، هر چندجمله‌ای را به جمله ثابت آن می‌فرستد. این نگاشت یک چندجمله‌ای را به صفر می‌فرستد اگر و تنها اگر جمله ثابت آن چندجمله‌ای ۰ باشد. چندجمله‌ای‌هایی با ضرایب حقیقی می‌توانند هم‌ریختی مشابهی داشته باشند که هسته آن چندجمله‌ای‌هایی با جمله ثابت ۰ است.

نگاشت‌های خطی

فرض کنید ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} } به صورت $\varphi (x,y,z)=x+2y+3z$ تعریف شود، در این صورت هسته $\varphi$ (یعنی فضای پوچ) مجموعه‌ای از نقاط $(x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}$ خواهد بود که در آن $x+2y+3z=0$، و این مجموعه یک زیرفضای خطی از $\mathbb {C} ^{3}$ است (این موضوع برای هر هسته یک نگاشت خطی صادق است).

اگر $D$ نشان‌دهنده عملگر مشتق روی چندجمله‌ایهای حقیقی باشد، هسته $D$ شامل چندجمله‌ای‌هایی خواهد بود که مشتق آن‌ها برابر با ۰ است، یعنی تابع ثابتها.

نگاشت $(Tp)(x)=x^{2}p(x)$ را در نظر بگیرید، که در آن $p$ یک چندجمله‌ای با ضرایب حقیقی است. در این صورت $T$ یک نگاشت خطی است که هسته آن دقیقاً ۰ است، زیرا ۰ تنها چندجمله‌ای است که در $x^{2}p(x)=0$ برای تمام $x\in \mathbb {R}$ صدق می‌کند.

جبرهای خارج‌قسمتی

هسته یک هم‌ریختی می‌تواند برای تعریف یک جبر خارج‌قسمتی استفاده شود. فرض کنید $G$ و $H$ گروه‌ها، $\varphi :G\to H$ یک هم‌ریختی گروهی، و $K=\ker \varphi$ باشد. $G/K$ را مجموعه تار (ریاضیات)های هم‌ریختی $\varphi$ در نظر بگیرید، که در آن یک تار، مجموعه نقاطی از دامنه است که به یک نقطه واحد در برد نگاشت می‌شوند. فرض کنید $X_{a}\in G/K$ نشان‌دهنده تار عضو $a\in H$ باشد، در این صورت یک عمل گروهی روی مجموعه تارها می‌تواند توسط $X_{a}X_{b}=X_{ab}$ تعریف شود و $G/K$ گروه خارج‌قسمتی (یا گروه عاملی) نامیده می‌شود که به صورت «G به پیمانه K» یا «G mod K» خوانده می‌شود. این اصطلاح از این واقعیت ناشی می‌شود که هسته، تارِ عضو همانیِ برد یعنی $H$ را نشان می‌دهد و اعضای باقی‌مانده صرفاً «انتقال‌یافته‌های» هسته هستند، بنابراین گروه خارج‌قسمتی با «تقسیم کردن» هسته به دست می‌آید.

تارها را می‌توان با نگاه کردن به دامنه نسبت به هسته نیز توصیف کرد؛ با داشتن $X\in G/K$ و هر عضو $u\in X$، داریم $X=uK=Ku$ که در آن:

$uK=\{uk\ |\ k\in K\}$

$Ku=\{ku\ |\ k\in K\}$

این مجموعه‌ها به ترتیب هم‌دستههای چپ و راست نامیده می‌شوند و می‌توانند به طور کلی برای هر زیرگروه دلخواه از $G$ تعریف شوند. عمل گروهی را می‌توان سپس به صورت $uK\circ vK=(uk)K$ تعریف کرد که صرف‌نظر از انتخاب نمایندگان تارها، به‌خوبی تعریف‌شده است.

بر پایه قضیه یکریختی اول، یک یکریختی $\mu :G/K\to \varphi (G)$ وجود دارد که در آن گروه دوم، تصویر همریختی $\varphi$ است و این یکریختی به صورت $\mu (uK)=\varphi (u)$ تعریف می‌شود و چنین نگاشتی خوش‌تعریف نیز هست.

برای حلقه‌ها، مدول‌ها و فضای برداری‌ها، می‌توان جبرهای خارج‌قسمتی مربوطه را از طریق ساختار گروه جمعی زیرین تعریف کرد، که در آن هم‌دسته‌ها به صورت $x+K$ نمایش داده می‌شوند. ضرب حلقه‌ای را می‌توان در جبر خارج‌قسمتی به صورت $(x+K)(y+K)=xy+K$ تعریف کرد که خوش‌تعریف است. برای یک حلقه $R$ (که هنگام توصیف فضاهای برداری ممکن است یک میدان باشد) و یک همریختی مدولی $\varphi :M\to N$ با هسته $K=\ker \varphi$، می‌توان ضرب نرده‌ای را روی $G/K$ به صورت $r(x+K)=rx+K$ برای $r\in R$ و $x\in M$ تعریف کرد که آن نیز خوش‌تعریف خواهد بود.

ساختارهای هسته

ساختار هسته‌ها امکان ساخت جبرهای خارج‌قسمتی را از ساختارهایی که ویژگی‌های هسته‌ها را برآورده می‌کنند، فراهم می‌سازد. هر زیرگروه $N$ از یک گروه $G$ می‌تواند یک خارج‌قسمت $G/N$ را توسط مجموعه تمام هم‌دسته‌های $N$ در $G$ بسازد. روش طبیعی برای تبدیل این به یک گروه، مشابه رفتار برای خارج‌قسمت توسط یک هسته، تعریف یک عمل روی هم‌دسته‌های (چپ) به صورت $uN\cdot vN=(uv)N$ است؛ با این حال، این عمل اگر و تنها اگر خوش‌تعریف است که زیرگروه $N$ تحت مزدوج‌سازی در $G$ بسته باشد، یعنی اگر $g\in G$ و $n\in N$، آنگاه $gng^{-1}\in N$. علاوه بر این، خوش‌تعریف بودن عمل برای اینکه خارج‌قسمت یک گروه باشد، کافی است. زیرگروه‌هایی که این ویژگی را برآورده می‌کنند، زیرگروه نرمال نامیده می‌شوند. هر هسته یک گروه، یک زیرگروه نرمال است و برای یک زیرگروه نرمال $N$ از گروه $G$، تصویر طبیعی $\pi :G\to G/N$ که به صورت $\pi (g)=gN$ تعریف می‌شود، یک همریختی با $\ker \pi =N$ است؛ بنابراین زیرگروه‌های نرمال دقیقاً همان زیرگروه‌هایی هستند که هسته محسوب می‌شوند. با این حال، بسته بودن تحت مزدوج‌سازی، معیاری را برای زمانی که یک زیرگروه، هسته برای یک همریختی خاص باشد، ارائه می‌دهد.

برای یک حلقه $R$، با در نظر گرفتن آن به عنوان یک گروه، می‌توان یک گروه خارج‌قسمتی را از طریق یک زیرگروه دلخواه $I$ از حلقه گرفت که به دلیل آبلی بودن گروه جمعی حلقه، نرمال خواهد بود. برای تعریف ضرب روی $R/I$، ضرب هم‌دسته‌ها که به صورت $(r+I)(s+I)=rs+I$ تعریف می‌شود، باید خوش‌تعریف باشد. انتخاب نمایندگان $r+\alpha$ و $s+\beta$ به ترتیب برای $r+I$ و $s+I$، برای $r,s\in R$ و $\alpha ,\beta \in I$، نتیجه می‌دهد:

$(r+\alpha )(s+\beta )+I=rs+I$

قرار دادن $r=s=0$ نشان می‌دهد که $I$ تحت ضرب بسته است، در حالی که قرار دادن $\alpha =s=0$ نشان می‌دهد که $r\beta \in I$، یعنی $I$ تحت ضرب دلخواه توسط عناصر از سمت چپ بسته است. به همین ترتیب، قرار دادن $r=\beta =0$ نشان می‌دهد که $I$ همچنین تحت ضرب توسط عناصر دلخواه از سمت راست بسته است. هر زیرگروه از $R$ که تحت ضرب توسط هر عنصر حلقه بسته باشد، ایده‌آل نامیده می‌شود. مشابه زیرگروه‌های نرمال، ایده‌آل‌های یک حلقه دقیقاً همان هسته‌های همریختی‌ها هستند.

دنباله دقیق

مقالهٔ اصلی: دنباله دقیق

نمایشی از یک دنباله دقیق از گروه‌ها. در هر جفت همریختی، تصویر همریختی قبلی به هسته همریختی بعدی تبدیل می‌شود، یعنی آن‌ها به عنصر همانی نگاشته می‌شوند.

هسته‌ها برای تعریف دنباله‌های دقیق همریختی‌ها برای گروه‌ها و مدول‌ها استفاده می‌شوند. با داشتن مدول‌های $A$، $B$ و $C$، یک جفت همریختی $\psi :A\to B,\varphi :B\to C$ که به صورت $A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C$ نوشته می‌شود، در صورتی (در $B$) دقیق گفته می‌شود که ${\text{image }}\psi =\ker \varphi$ باشد. یک دنباله دقیق، دنباله‌ای از مدول‌ها و همریختی‌ها به صورت $\cdots \to X_{n-1}\to X_{n}\to X_{n+1}\to \cdots$ است که در آن هر جفت مجاور از مدول‌ها و همریختی‌ها دقیق است.

نیازی به برچسب‌گذاری همریختی‌ها در یک دنباله دقیق که از مدول صفر شروع یا به آن ختم می‌شوند نیست، زیرا تنها یک نگاشت منحصربه‌فرد وجود دارد؛ نگاشت $0\mapsto 0$ زمانی که مدول صفر دامنه باشد، و نگاشت $b\mapsto 0$ زمانی که مدول صفر برد باشد. دنباله‌های دقیق می‌توانند برای توصیف اینکه چه زمانی یک همریختی یک‌به‌یک، پوشا یا یکریختی است، استفاده شوند. به‌ویژه، دنباله‌های $0\to A\xrightarrow {f} B$، $B\xrightarrow {g} C\to 0$ و $0\to A\xrightarrow {h} B\to 0$ دقیق هستند اگر و تنها اگر همریختی‌های برچسب‌گذاری‌شده به ترتیب یک‌به‌یک، پوشا و یکریختی باشند.

نوع خاصی از دنباله دقیق، دنباله دقیق کوتاه است که به شکل $0\to A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C\to 0$ می‌باشد. این دنباله‌ها با مسئله توسیع مرتبط هستند: با داشتن مدول‌های $A$ و $C$، مدول‌های $B$ را تعیین کنید که در آن $A$ یک زیرمدول از $B$ باشد و خارج‌قسمت حاصل از آن‌ها با $C$ یکریخت باشد. چنین مدولی یک توسیع از $C$ توسط $A$ نامیده می‌شود (یا به طور جایگزین، یک توسیع از $A$ توسط $C$). مسئله توسیع، هنگامی که به صورت دنباله‌های دقیق نوشته شود، می‌تواند به عنوان یافتن تمام دنباله‌های دقیق کوتاه $0\to A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C\to 0$ با $A$ و $C$ ثابت بیان شود. چنین توسعی دلالت بر این دارد که $A\cong \psi (A)$ و $\psi (A)$ هسته $\varphi$ است.

جبر جهانی

هسته‌ها را می‌توان در جبر جهانی برای همریختی‌ها بین هر دو ساختار جبری تعمیم داد. یک عمل روی یک مجموعه $A$، تابعی به شکل $Q:A^{n}\to A$ است که در آن $n$، آریتی (یا رتبه) عمل است. یک عمل $n$-تایی، یک لیست مرتب از $n$ عنصر از $A$ را می‌گیرد و آن‌ها را به یک عنصر واحد در $A$ می‌نگارد. یک ساختار جبری، یک چندتایی $\langle A,F\rangle$ است که در آن $A$ مجموعه زیرین جبر و $F$ مجموعه‌ای نمایه‌گذاری‌شده از عمل‌های $Q\in F$ روی $A$ است که تفسیر آن‌ها با $Q^{A}$ نشان داده می‌شود. مجموعه نمایه‌گذاری $F$، زبان است که هر نماد عمل را نیز به آریتی ثابت آن‌ها (که تابع رتبه نامیده می‌شود) نگاشت می‌کند. دو ساختار جبری زمانی مشابه هستند که زبان یکسانی داشته باشند، که شامل تابع رتبه آن‌ها نیز می‌شود.

فرض کنید $A$ و $B$ ساختارهای جبری از یک نوع مشابه $F$ باشند. یک همریختی، تابعی مانند $f:A\to B$ است که تفسیر هر $Q\in F$ را رعایت می‌کند، یعنی با در نظر گرفتن $Q$ به عنوان یک عمل $n$-تایی و $a_{i}\in A$ برای $1\leq i\leq n$: : $f(Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n}))=Q^{B}(f(a_{1}),\ldots f(a_{n}))$

هسته (kernel) یک نگاشت $f$، که با $\ker {f}$ نمایش داده می‌شود، زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی $A\times A$ است که از تمام زوج مرتب‌های عناصر $A$ تشکیل‌شده است که مولفه‌های آن‌ها توسط $f$ به یک عنصر واحد در $B$ نگاشته می‌شوند. به زبان نمادین:

$\ker f=\left\{\left(a,b\right)\in A\times A:f(a)=f\left(b\right)\right\}{\mbox{.}}$

هم‌ریختی $f$ یک‌به‌یک (تزریقی) است اگر و تنها اگر هسته آن مجموعه قطری $\{(a,a)\ |\ a\in A\}$ باشد، که همواره درون هسته قرار دارد. $\ker {f}$ یک رابطه هم‌ارزی روی $A$ و در واقع یک رابطه هم‌نهشتی است، بدین معنا که برای یک عمل $n$-تایی $Q\in F$، رابطه $(a_{i},b_{i})\in \ker {f}$ برای $1\leq i\leq n$ نتیجه می‌دهد که $(Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n}),Q^{A}(b_{1},\ldots b_{n}))\in \ker {f}$. صحبت از جبر خارج‌قسمتی $A/\ker {f}$ معنادار است، که مجموعه آن از کلاس هم‌ارزی‌های $a/\ker f$ هسته تشکیل شده و عمل‌های خوش‌تعریف برای یک عمل $n$-تایی $Q\in F$ به صورت زیر تعریف می‌شوند:: $Q^{A/\ker {f}}(a_{1}/\ker {f},\ldots a_{n}/\ker {f})=Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n})/\ker {f}$

قضیه اول یکریختی در جبر جهانی بیان می‌کند که این جبر خارج‌قسمتی به طور طبیعی با تصویر $f$ (که یک زیرجبر از $B$ است) یکریخت است.

نظریه رسته‌ها

هسته‌های ریخت‌ها

همچنین ببینید: رسته آبلی

هسته‌ها را می‌توان در رسته‌هایی که دارای اشیاء صفر هستند، تعمیم داد. یک رسته باید شرایط زیر را دارا باشد:

• اشیاء $A\in {\mathbf {C}}$
• ریخت‌ها $f:A\to B$
• ترکیب؛ اگر $f:A\to B$ و $g:B\to C$ باشند، ترکیب آن‌ها را به صورت $g\circ f:A\to C$ نمایش می‌دهیم.
• شرکت‌پذیری: اگر $f:A\to B$، $g:B\to C$ و $h:C\to D$ باشند، آنگاه $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
• یک ریخت همانی $id_{A}:A\to A$ که ترکیب با آن منجر به همان ریخت می‌شود؛ برای $f:A\to B$، داریم $f=f\circ id_{A}=id_{B}\circ f$

یک ریخت $f:A\to B$ یک یکریختی است هرگاه ریختی مانند $g:B\to A$ وجود‌داشته باشد که $g\circ f$ و $f\circ g$ ریخت‌های همانی باشند. یک شیء صفر، شیئی در یک رسته است که در آن دقیقاً یک ریخت به هر شیء و دقیقاً یک ریخت از هر شیء وجود دارد. هر دو شیء صفر با یکدیگر یکریخت هستند. اگر شیء صفر یک رسته با $0$ برچسب‌گذاری شود، آنگاه ترکیب ریخت‌های $0:A\to 0\to B$، ریختِ $0$ از $A$ به $B$ است.

هسته یک ریخت $f:B\to C$، ریختی مانند $i:A\to B$ است که نسبت به ویژگی $f\circ i=0$ جهانی است. به عبارت دیگر، اگر ریختی مانند $j:Z\to B$ با $f\circ j=0$ وجود داشته باشد، آنگاه ریخت منحصربه‌فردی مانند $k:Z\to A$ وجود دارد که $j=i\circ k$. این موضوع در نمودار جابه‌جایی زیر نشان داده شده است:

مرکز

هسته به صورت $\ker f\to B$ نمایش داده می‌شود. هسته، حد نمودار $B\xrightarrow {f} C\xleftarrow {} 0$ است. با معکوس کردن جهت ریخت‌ها و ترکیب‌های ارائه‌شده در تعریف هسته، مفهوم هم‌هسته (cokernel) تعریف می‌شود که با ${\text{coker}}f$ نمایش می‌یابد. تصویر یک ریخت، هنگامی که هسته/هم‌هسته مربوطه وجود‌داشته باشد، به صورت ${\text{im}}f=\ker({\text{coker}}f)$ تعریف می‌شود.

مفاهیم هسته‌ها/هم‌هسته‌ها منجر به تعریف رسته آبلی می‌شود. یک رسته زمانی جمعی است که دارای یک شیء صفر، ضرب برای هر دو شیء باشد و ریخت‌های بین هر دو شیء ثابت، یک گروه آبلی تشکیل دهند که در آن ترکیب ریخت‌ها نسبت به جمع در این گروه توزیع‌پذیر باشد. ریخت‌ها در یک رسته جمعی ممکن است هم‌ریختی نامیده شوند. یک رسته جمعی زمانی رسته آبلی نامیده می‌شود که هر هم‌ریختی دارای هسته و هم‌هسته باشد، هر تک‌ریختی هسته هم‌هسته خود باشد و هر بروریختی هم‌هسته هسته خود باشد.

برابرساز

هسته‌های ریخت‌ها را می‌توان با مفهوم برابرساز تعمیم داد. یک برابرساز برای دو ریخت $f,g:A\to B$ در یک رسته، یک شیء $E$ و یک ریخت $e:E\to A$ است به طوری که $f\circ e=g\circ e$، و علاوه بر این، نسبت به این ویژگی جهانی است؛ اگر $z:Z\to A$ ریخت دیگری با $f\circ z=g\circ z$ باشد، آنگاه ریخت منحصربه‌فردی مانند $u:Z\to E$ وجود دارد که $z=e\circ u$. هر ریخت برابرساز باید مونی باشد؛ اگر $x,y:Z\to E$ با $e\circ x=e\circ y$ باشند، آنگاه $x=y$.

برای گروه‌های آبلی، برابرساز دو هم‌ریختی همان برابرساز بین تفاضل این دو هم‌ریختی و هم‌ریختی صفر است، بنابراین تنها برابرسازهایی که نیاز به بررسی در رسته گروه‌های آبلی دارند، آن‌هایی هستند که بین هر هم‌ریختی $h:A\to B$ و هم‌ریختی صفر $0:A\to B$ قرار دارند. شیء چنین برابرسازی (تا حد یکریختی) همان $\ker h$، یعنی هسته هم‌ریختی $h$ است و ریخت مرتبط با آن، نگاشت شمول است. این مثال نشان می‌دهد که برابرسازها تعمیمی از هسته یک ریخت هستند؛ به ویژه، هسته یک ریخت، برابرساز بین آن ریخت و ریخت صفر مربوطه است.

جفت‌های هسته

جفت هسته یک ریخت $f:X\to Y$ به عنوان عقب‌بر روی این ریخت که با خودش جفت‌شده است، تعریف می‌شود. این مفهوم را می‌توان با نمودار جابه‌جایی زیر نمایش داد:

مرکز

هسته‌های تابعگون‌ها

تابعگون‌ها بین رسته‌ها نیز می‌توانند دارای هسته باشند. یک تابعگون (هم‌وردا) از رسته ${\mathbf {C}}$ به ${\mathbf {D}}$، که با $F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}$ نمایش داده می‌شود، اشیاء و ریخت‌ها را از ${\mathbf {C}}$ به ${\mathbf {D}}$ نگاشت می‌کند به طوری که شرایط زیر برقرار باشند:

1. اگر $f:A\to B$ باشد، آنگاه $F(f):F(A)\to F(B)$
2. $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$
3. $F(id_{A})=id_{F(A)}$

یک هم‌نهشتی روی یک رسته ${\mathbf {C}}$، یک رابطه هم‌ارزی $\sim$ روی ریخت‌ها است که در آن $f\sim g$ دلالت بر این دارد که آن‌ها دامنه و هم‌دامنه یکسانی دارند و علاوه بر آن، برای هر ریخت مناسب $a$ و $b$، $bfa\sim bga$ برقرار است. یک هم‌نهشتی منجر به ایجاد یک رسته هم‌نهشتی ${\mathbf {C}}^{\sim }$ با همان اشیاء ${\mathbf {C}}$ می‌شود، اما با ریخت‌هایی متشکل از $\langle f,g\rangle$ که در آن $f\sim g$، ترکیب به صورت مولفه‌ای تعریف می‌شود و ریخت همانی ${\widetilde {id_{A}}}=\langle id_{A},id_{A}\rangle$ است. سپس می‌توان یک رسته خارج‌قسمتی ${\mathbf {C}}/\sim$ تشکیل داد که در آن اشیاء همان اشیاء ${\mathbf {C}}$ هستند، ریخت‌ها کلاس‌های هم‌ارزی $[f]$ تحت هم‌نهشتی هستند، ریخت همانی کلاس هم‌ارزی مرتبط با آن یعنی $[id_{A}]$ است و ترکیب به صورت $[g]\circ [f]=[g\circ f]$ تعریف می‌شود. دو تابعگون تصویر از رسته هم‌نهشتی به رسته اصلی وجود دارند که با $p_{1},p_{2}$ برچسب‌گذاری می‌شوند و یک تابعگون خارج‌قسمتی $\pi$ از رسته به رسته خارج‌قسمتی آن وجود دارد که به عنوان هم‌برابرساز برای دو تابعگون تصویر عمل می‌کند.

یک تابعگون $F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}$ یک رابطه هم‌نهشتی $\sim _{F}$ به دست می‌دهد که در آن $f\sim _{F}g$ اگر و تنها اگر آن‌ها دارای دامنه و هم‌دامنه یکسانی باشند و علاوه بر آن $F(f)=F(g)$ برقرار باشد. هسته $F$ در این صورت به عنوان رسته هم‌نهشتی مرتبط $\ker F={\mathbf {C}}^{\sim _{F}}$ نمایش داده می‌شود.

جستارهای وابسته

• هسته تابع
• ریشه تابع

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[en:Kernel (algebra) Kernel (algebra)]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

• Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford : Oxford; New York: Clarendon Press; Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856861-2.
• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right (4th ed.). Springer.
• Burris, Stanley; Sankappanavar, H.P. (2012). A Course in Universal Algebra (Millennium ed.). S. Burris and H.P. Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Dummit, David Steven; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor (2003). A first course in abstract algebra. World student series (7th ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-76390-4.
• Hungerford, Thomas W. (2014). Abstract Algebra: an introduction (3rd ed.). Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
• McKenzie, Ralph; McNulty, George F.; Taylor, W. (1987). Algebras, lattices, varieties. The Wadsworth & Brooks/Cole mathematics series. Monterey, Calif: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. ISBN 978-0-534-07651-1.
• Riehl, Emily. Category Theory in Context. Dover Publications.
• Rotman, Joseph J. (2002). Advanced modern algebra. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0130878685.
• Vakil, Ravi. "The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry" (PDF). Retrieved 2025-08-10.