چهاروجهی منتظم

چهاروجهی منتظم
نوع	دلتاهدرون جسم افلاطونی هرم
وجوه	۴ مثلث متساوی‌الاضلاع
اضلاع	۶
رئوس	۴
گروه تقارنی	تقارن چهاروجهی $\mathrm {T} _{\mathrm {h} }$
چندوجهی دوگان	دوگان‌به‌خود
ویژگی‌ها	محدب
گسترده

چهاروجهی منتظم یک چندوجهی است که از چهار مثلث متساوی‌الاضلاع تشکیل شده‌است. این چندوجهی دارای شش یال و چهار رأس است و همه وجوه، یال‌ها و رأس‌هایش با یکدیگر برابرند.

چهاروجهی منتظم یکی از پنج جسم افلاطونی است؛ یعنی چندوجهی‌هایی که همه وجوهشان چندضلعی منتظم هستند. این جسم از دوران باستان شناخته شده بود و افلاطون آن را به عنصر کلاسیک آتش نسبت می‌داد، زیرا گوشه‌های آن تیزترین و نافذترین گوشه‌ها در میان اجسام افلاطونی هستند. چهاروجهی منتظم کوچک‌ترین دلتاهدرون محدب از نظر تعداد رأس‌ها و وجوه است.

چهاروجهی منتظم دوگان‌به‌خود است؛ یعنی چندوجهی دوگان آن نیز یک چهاروجهی منتظم است. این جسم همچنین یک پادمنشور تبهگن به‌شمار می‌رود.

شرح

دسته‌بندی

چهاروجهی منتظم یک چهاروجهی (یعنی یک چندوجهی چهاروجهی) است که در آن همه چهار وجه مثلث متساوی‌الاضلاع هستند. به بیان دیگر، همه وجوه با یکدیگر هم‌نهشت بوده و همه یال‌ها طول برابر دارند. به عنوان یک چندوجهی محدب، چهاروجهی منتظم کوچک‌ترین دلتاهدرون از میان هشت دلتاهدرون محدب است؛ دلتاهدرون به چندوجهی‌ای گفته می‌شود که همه وجوهش مثلث متساوی‌الاضلاع باشند. مانند دیگر هرم‌ها و همه چهاروجهی‌ها به طور کلی، چهاروجهی منتظم دوگان‌به‌خود است.

چهاروجهی منتظم به‌مثابهٔ عنصر کلاسیک آتش، طراحی‌شده توسط یوهانس کپلر.

مدل منظومه شمسی با اجسام افلاطونی کپلر

چهاروجهی منتظم همچنین یکی از پنج جسم افلاطونی است؛ چندوجهی‌هایی که همه وجوهشان چندضلعی منتظم هستند. اجسام افلاطونی از دوران باستان شناخته شده‌اند و به نام فیلسوف یونانی افلاطون نامگذاری شده‌اند که چهار تا از آن‌ها را با عناصر طبیعی بنیادین پیوند داد. افلاطون چهاروجهی منتظم را به عنصر کلاسیک آتش نسبت داد، زیرا گوشه‌های آن تیزترین و نافذترین گوشه‌هاست. یوهانس کپلر در کتاب هارمونی جهان طرح هر یک از اجسام افلاطونی را رسم کرد. کپلر در کتاب رموز جهان نیز منظومه شمسی را با بهره‌گیری از اجسام افلاطونی پیشنهاد کرد، به‌گونه‌ای که هر جسم درون دیگری جای می‌گرفت و شش کره‌ای که شبیه شش سیاره بودند آن‌ها را از هم جدا می‌کردند. ترتیب اجسام از درونی‌ترین به بیرونی‌ترین به این صورت بود: هشت‌وجهی منتظم، بیست‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم، چهاروجهی منتظم و مکعب.

چهاروجهی منتظم یک پادمنشور تبهگن است.

مختصات دکارتی

یک روش برای ساختن چهاروجهی منتظم بهره‌گیری از مختصات دکارتی زیر است که چهار رأس چهاروجهی با طول یال ۲، مرکوز در مبدأ و با یال‌های دو سطحی را تعریف می‌کند:$$\left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\qquad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$$

یک چهاروجهی منتظم را می‌توان به دو شکل درون یک مکعب جای داد به‌گونه‌ای که هر رأس آن رأسی از مکعب باشد و هر یال آن قطر یکی از وجوه مکعب باشد. برای یکی از این جاگذاری‌ها، مختصات دکارتی رأس‌ها به صورت زیر است:$${\begin{aligned}(1,1,1),&\quad (1,-1,-1),\\(-1,1,-1),&\quad (-1,-1,1).\end{aligned}}$$این یک چهاروجهی با طول یال $2{\sqrt {2}}$ مرکوز در مبدأ به دست می‌دهد. برای چهاروجهی دیگر (که دوگان اولی است)، علامت همه مختصات را معکوس کنید. رأس‌های این دو چهاروجهی با هم رأس‌های یک مکعب را می‌سازند و نشان می‌دهند که چهاروجهی منتظم یک ۳-نیم‌ابرمکعب است. این شکل دارای نمودار کاکسیتر-دینکین پرونده:CDel ۴.pngپرونده:CDel ۳.png و نماد اشلفلی $\mathrm {h} \{4,3\}$ است.

ویژگی‌ها

اندازه‌گیری

مدل سه‌بعدی چهاروجهی منتظم

فرض کنید $a$ طول یال چهاروجهی منتظم باشد. ارتفاع یک مثلث متساوی‌الاضلاع — پاره‌خطی که از هر رأس به نقطه میانی یال مقابل رسم می‌شود — با بهره‌گیری از قضیه فیثاغورس برابر ${\textstyle {\frac {1}{2}}a{\sqrt {3}}}$ است. فاصله از مرکزوار تا رأس دو مقدار متفاوت دارد؛ بزرگ‌ترین آن دو سوم ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع است. با بهره‌گیری مجدد از قضیه فیثاغورس، ارتفاع چهاروجهی منتظم چنین به دست می‌آید: $$h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.816a.$$ از آنجا که کوتاه‌ترین فاصله از مرکزوار تا رأس یک سوم ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع است، زاویه دووجهی (زاویه بین دو وجه مثلثی) چهاروجهی منتظم برابر ${\textstyle \arccos \left(1/3\right)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\approx 70.529^{\circ }}$ است.

مساحت رویهٔ چهاروجهی منتظم چهار برابر مساحت یک مثلث متساوی‌الاضلاع است: $$A=4\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)=a^{2}{\sqrt {3}}\approx 1.732a^{2}.$$

حجم چهاروجهی منتظم یک سوم حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است که فرمول کلی هرم است. این را همچنین می‌توان با تجزیه یک مکعب به یک چهاروجهی و چهار هرم مثلثی به دست آورد: $$V={\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)\cdot {\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\approx 0.118a^{3}.$$

شعاع‌های کره محیطی $r_{\mathrm {ci} }$ (کره‌ای که چهاروجهی را دربر می‌گیرد و از رأس‌هایش می‌گذرد)، کره محاطی $r_{\text{in}}$ (کره‌ای درون چهاروجهی که به وجوهش مماس است)، کره میانی $r_{\mathrm {mi} }$ (کره‌ای که به یال‌هایش مماس است) و کره بیرونی چندوجهی $r_{\mathrm {ex} }$ (کره‌ای بیرونی که به یک وجه و صفحه‌های حاصل از امتداد وجوه مجاور مماس است) به شکل زیرند: $${\begin{aligned}r_{\mathrm {ci} }={\frac {a{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}\approx 0.612a,&\qquad r_{\mathrm {in} }={\frac {1}{3}}r_{\mathrm {ci} }\approx 0.204a,\\r_{\mathrm {mi} }={\sqrt {r_{\mathrm {in} }r_{\mathrm {ci} }}}\approx 0.354a,&\qquad r_{\mathrm {ex} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0.408a.\end{aligned}}$$برای چهاروجهی منتظم با طول یال $a$ و شعاع کره محیطی $R$، فاصله‌های $d_{i}$ از یک نقطه دلخواه در فضای سه‌بعدی تا چهار رأس آن در معادلات زیر صدق می‌کنند: $${\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2},\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}$$

نسبت به صفحه قاعده، شیب یک وجه (√۲۲) دو برابر شیب یک یال (√۲) است؛ این با آن واقعیت مطابقت دارد که فاصله افقی پیموده‌شده از قاعده تا رأس در طول یک یال دو برابر فاصله در طول میانه یک وجه است.

زاویه فضایی در یک رأس که توسط یک وجه ایجاد می‌شود برابر ${\textstyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)=3\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)-\pi ,}$ یا تقریباً ۰٫۵۵۱۲۹ استرادیان یا ۱۸۰۹٫۸ درجه مربع است.

تقارن

نمایش محورهای دورانی (دوران مرتبه ۳ روی رأس و وجه، و مرتبه ۲ روی دو یال) و صفحات بازتابی در گروه تقارن چهاروجهی منتظم

چهاروجهی منتظم دارای یک گروه تقارن سه‌بعدی است که به نام تقارن کامل چهاروجهی $\mathrm {T} _{\mathrm {d} }$ شناخته می‌شود. این گروه تقارن دارای ۲۴ همانداشت است که هفت محور دورانی و شش صفحه بازتابی را دربرمی‌گیرد. هفت محور دورانی شامل چهار محور تقارن دورانی سه‌تایی (۰، ۱۲۰ و ۲۴۰ درجه) گذرنده از یک رأس به مرکزوار وجه مثلثی مقابل، و سه محور تقارن دورانی دوتایی (۰ و ۱۸۰ درجه) گذرنده از نقطه میانی دو یال هستند. این گروه نقطه‌ای دارای تقارن دورانی چهاروجهی $\mathrm {T}$ است.

رأس‌های یک مکعب را می‌توان به دو گروه چهارتایی تقسیم کرد که هر کدام یک چهاروجهی منتظم می‌سازند. تقارن‌های چهاروجهی منتظم با نیمی از تقارن‌های مکعب برابرند. چهاروجهی تنها جسم افلاطونی است که با بازتاب نقطه‌ای به خودش نگاشته نمی‌شود.

تصویرهای متعامد چهاروجهی منتظم

چهاروجهی منتظم دو تصویر متعامد ویژه دارد: یکی مرکوز بر یک رأس (یا معادلاً بر یک وجه) و دیگری مرکوز بر یک یال. اولی با صفحه کاکسیتر A₂ مطابقت دارد.

تصویر ارتوگرافیک

مرکوز بر	وجه/رأس	یال
تصویر
تقارن تصویری	[۳]	[۴]

اشکال وابسته

ترکیب‌ها

ترکیب‌های چهاروجهی

از چپ به راست: ترکیب دو چهاروجهی، ترکیب پنج چهاروجهی، ترکیب ده چهاروجهی

هشت‌وجهی ستاره‌ای با ستاره‌سازی وجوه هشت‌وجهی منتظم به گونه‌ای که مثلث‌های متساوی‌الاضلاع بر هر وجه تشکیل شود، ساخته می‌شود. از دیدگاه ترکیب چندوجهی، این شکل از دو چهاروجهی دوگان تشکیل شده‌است. ترکیب جالب دیگری از ترکیب پنج چهاروجهی پنج چهاروجهی متقاطع تشکیل می‌شود که صدها سال است شناخته شده. این ترکیب به طور منظم در دنیای اوریگامی نمایان می‌شود. اتصال بیست رأس آن یک دوازده‌وجهی منتظم می‌سازد. هر دو شکل چپ‌دست و راست‌دست وجود دارند که تصویر آینه‌ای یکدیگرند. روی هم قرار دادن هر دو شکل ترکیب ده چهاروجهی را می‌سازد.

ساختن چندوجهی‌ها

چهاروجهی بریده‌شده و دوگانش، دوازده‌مثلث وجهی

بسیاری از چندوجهی‌ها با بهره‌گیری از چهاروجهی منتظم ساخته می‌شوند. با بریدن رأس‌های چهاروجهی منتظم، چهاروجهی بریده‌شده به دست می‌آید. دوگان این جسم دوازده‌مثلث وجهی است؛ یعنی چهاروجهی منتظمی که چهار هرم مثلثی به هر وجهش متصل شده‌اند (کلیتوپ آن). برخی از اجسام جانسون مانند هرم مثلثی کشیده‌شده و دوهرم مثلثی کشیده‌شده با چسباندن یک یا دو چهاروجهی منتظم به قاعده‌های یک منشور مثلثی ساخته می‌شوند؛ دوهرم مثلثی نیز با چسباندن دو چهاروجهی منتظم وجه‌به‌وجه به دست می‌آید.

چهاروجهی‌های منتظم را می‌توان وجه‌به‌وجه در زنجیری دست‌سانی و غیرتناوبی به نام مارپیچ بوردیک-کاکسیتر چیده کرد.

اشکال چهاربعدی

پنتاکورون یک پلیتوپ چهاربعدی و تعمیم چهاروجهی در فضای چهاربعدی است. این جسم توسط پنج چهاروجهی منتظم که به عنوان سلول شناخته می‌شوند محدود می‌شود.

در فضای چهاربعدی، همه ۴-پلیتوپ منتظم محدب با سلول‌های چهاروجهی (۵-سلول، ۱۶-سلول و ۶۰۰-سلول) می‌توانند به عنوان چینه‌بندی ۳-کره با این زنجیرها ساخته شوند.

پایای دن و لانه‌زنبوری‌ها

لانه‌زنبوری چهاروجهی-هشت‌وجهی از هشت‌وجهی‌های منتظم و چهاروجهی‌ها

پایای دن چهاروجهی منتظم را می‌توان به صورت ضرب تانسوری طول یال و زاویه دووجهی چهاروجهی منتظم ${\textstyle 6a\otimes \arccos {\frac {1}{3}}}$ تعریف کرد که مقداری غیرصفر دارد. پایای دن در اصل از سومین مسئله هیلبرت، مجموعه‌ای از ۲۳ مسئله توسط داویت هیلبرت، سرچشمه گرفت که می‌پرسید آیا با داشتن دو چندوجهی هم‌حجم، می‌توان اولی را به قطعاتی تقسیم کرد که دوباره به دومی مونتاژ شوند. دانشجوی هیلبرت، ماکس دن، پاسخ منفی را با نشان دادن پایای خود اثبات کرد.

هر چندوجهی با پایای دن صفر می‌تواند با نسخه‌های دیگر خودش فضا را پر کند و یک لانه‌زنبوری (هندسه) بسازد. از آنجا که پایای دن چهاروجهی منتظم غیرصفر است، این جسم به تنهایی نمی‌تواند چنین کند. در مورد چهاروجهی منتظم، می‌توان آن را به طور متناوب با هشت‌وجهی‌های منتظم به نسبت دو چهاروجهی به یک هشت‌وجهی چید و لانه‌زنبوری مکعبی متناوب را تشکیل داد.

چهاروجهی کروی

چهاروجهی کروی

چهاروجهی را می‌توان به صورت یک چینه‌بندی کروی (از مثلث‌های کروی) نمایش داد و از طریق افکنش استریونگاری روی صفحه تصویر کرد. این تصویر همدیس است؛ یعنی زوایا را حفظ می‌کند اما مساحت‌ها و طول‌ها را نه. خطوط مستقیم روی کره به صورت قوس‌های دایره روی صفحه تصویر می‌شوند.

مقطع عرضی چهاروجهی منتظم

مقطع عرضی مرکزی چهاروجهی منتظم یک مربع است

دو یال متقابل عمود برهم یک چهاروجهی منتظم مجموعه‌ای از صفحات موازی را تعریف می‌کنند. وقتی یکی از این صفحات چهاروجهی را قطع کند، مقطع حاصل یک مستطیل است. وقتی صفحه برش نزدیک یکی از یال‌ها باشد، مستطیل دراز و باریک است. وقتی صفحه دقیقاً در نقطه میانی بین دو یال قرار گیرد، مقطع یک مربع است. نسبت ابعاد مستطیل با عبور از این نقطه میانی معکوس می‌شود. برای مقطع مربعی در نقطه میانی، خط مرزی حاصل از همه وجوه چهاروجهی به شکل یکسان می‌گذرد. اگر چهاروجهی از این صفحه نصف شود، هر دو نیمه به گوه تبدیل می‌شوند.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Regular tetrahedron». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۷ ژوئن ۲۰۲۶.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Tétraèdre régulier». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی، بازبینی‌شده در ۱۷ ژوئن ۲۰۲۶.

کتاب‌شناسی

• Alsina، C.؛ Nelsen، R. B. (۲۰۱۵). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the ۲۱st Century. Mathematical Association of America. شابک ۹۷۸-۱-۶۱۴۴۴-۲۱۶-۵.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Armstrong، Mark A. (۱۹۸۸). Groups and Symmetry. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4034-9. شابک ۹۷۸-۱-۴۷۵۷-۴۰۳۴-۹.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Berman، Martin (۱۹۷۱). «Regular-faced convex polyhedra». Journal of the Franklin Institute. ۲۹۱ (۵): ۳۲۹–۳۵۲. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Palladino، Aldo؛ Vaccaro، Nicla؛ Vaccaro، Maria Alessandra (۲۰۱۸). «Historical notes on star geometry in mathematics, art and nature». در Emmer، Michele؛ Abate، Marco (ویراستاران). Imagine Math ۶: Between Culture and Mathematics. Springer International Publishing. صص. ۱۹۷–۲۱۱. doi:10.1007/978-3-319-93949-0_17. hdl:10447/325250. شابک ۹۷۸-۳-۳۱۹-۹۳۹۴۸-۳.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Coxeter، H. S. M. (۱۹۴۸). Regular Polytopes. Methuen and Co.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Cromwell، Peter R. (۱۹۹۷). Polyhedra. انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک ۹۷۸-۰-۵۲۱-۵۵۴۳۲-۹.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Cundy، H. Martyn (۱۹۵۲). «Deltahedra». The Mathematical Gazette. ۳۶ (۳۱۸): ۲۶۳–۲۶۶. doi:10.2307/3608204. جی‌استور 3608204. S2CID 250435684.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Hartshorne، Robin (۲۰۰۰). Geometry: Euclid and beyond. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York. doi:10.1007/978-0-387-22676-7. شابک ۰-۳۸۷-۹۸۶۵۰-۲. MR 1761093.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Köller، Jürgen (۲۰۰۱). «Tetrahedron». Mathematische Basteleien.{{cite web}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Kuchel، Philip W. (۲۰۱۲). «۹۶.۴۵ Can you 'bend' a truncated truncated tetrahedron?». The Mathematical Gazette. ۹۶ (۵۳۶): ۳۱۷–۳۲۳. doi:10.1017/S0025557200004666. جی‌استور 23248575.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Lagarias، J. C.؛ Moews، D. (۱۹۹۵). «Polytopes that fill $\mathbb {R} ^{n}$ and scissors congruence». Discrete & Computational Geometry. ۱۳ (۳–۴): ۵۷۳–۵۸۳. doi:10.1007/BF02574064. MR ۱۳۱۸۷۹۷. {{cite journal}}: مقدار |mr= را بررسی کنید (کمک)نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Livio، Mario (۲۰۰۳) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (ویراست First trade paperback). New York City: Broadway Books. شابک ۰-۷۶۷۹-۰۸۱۶-۳.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Miyazaki، K.؛ Ishii، M. (۲۰۲۱). «Symmetry in Projection of ۴-Dimensional Regular Polychora». در Darvas، György (ویراستار). Complex Symmetries. doi:10.1007/978-3-030-88059-0. شابک ۹۷۸-۳-۰۳۰-۸۸۰۵۹-۰.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Park، Poo-Sung (۲۰۱۶). «Regular polytope distances» (PDF). Forum Geometricorum. ۱۶: ۲۲۷–۲۳۲. بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۱۰ اکتبر ۲۰۱۶. دریافت‌شده در ۲۴ مه ۲۰۱۶.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Pugh، Anthony (۱۹۷۶). Polyhedra: A Visual Approach. University of California Press. شابک ۹۷۸-۰-۵۲۰-۰۳۰۵۶-۵.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Shavinina، Larisa V. (۲۰۱۳). The Routledge International Handbook of Innovation Education. Routledge. شابک ۹۷۸-۰-۲۰۳-۳۸۷۱۴-۶.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)
• Williams، Robert (۱۹۷۹). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. شابک ۹۷۸-۰-۴۸۶-۲۳۷۲۹-۹.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:تاریخ به‌طور خودکار ترجمه‌شده (رده)