*-جبر

در ریاضیات، یک *-حلقه، حلقه ای است که مجهز به نگاشت ${\displaystyle *:A\rightarrow A}$ می باشد، که یک پاد-خودریختی و یک پیچش است.

به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام ${\displaystyle x,y\in A}$ارضاء نماید:^[۱]

• ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$
• ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$
• ${\displaystyle 1^{*}=1}$
• ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$

به این حلقه حلقه پیچشی هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که ${\displaystyle 1^{*}}$ نیز یک همانی ضربی است و همانی ها منحصر به فردند.

عناصری چون x* = x را خود-الحاقی خوانند.^[۲]

مثال های کهن الگو از یک *-حلقه، میدان اعداد مختلط و اعداد جبری مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی-خطی روی هر *-حلقه تعریف کرد.

همچنین، می توان *-نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده‌آل، زیر حلقه با شرط *-ناوردایی: ${\displaystyle x\in I\rightarrow x^{*}\in I}$ و ... را نیز تعریف کرد.

یک *-جبر چون ${\displaystyle A}$، یک *-حلقه است،^[۳] که مجهز به پیچش * بوده چنان که جبر شرکت پذیر روی *-حلقه جابجایی ${\displaystyle R}$ با پیچش ` باشد، چنان که داشته باشیم:

${\displaystyle (rx)^{*}=r'x^{*}\forall {r}\in R,x\in A}$^[۴]

*-حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند (که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند).

از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی ${\displaystyle A}$ در ${\displaystyle R}$ مزدوج-خطی است، یعنی برای ${\displaystyle \lambda ,\mu \in R}$ و ${\displaystyle x,y\in A}$:

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda 'x*+\mu 'y*}$

یک *-همریختی ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$، همریختی جبری است، یعنی با پیچش های ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ سازگار است:

• برای هر ${\displaystyle a\in A}$ داریم ${\displaystyle f(a^{*})=f(a)^{*}}$^[۲]

* -عمل روی *-حلقه مشابه عمل مزدوج گیری روی اعداد مختلط است. *-عمل روی *-جبر مشابه الحاق گیری روی جبرهای ماتریسی مختلط است.

پیچش * یک عملگر تکی است به صورت های زیر نمایش داده می شوند:

x ↦ x*،

x ↦ x^∗ (TeX: x^*)

اما به صورت "x*" نوشته نمی‌شود؛ مقاله ستاره را برای جزئیات بیشتر ببینید.